Vapaa ultrafiltteri

Tämä on jo pitkään rästissä ollut blogimerkintä, jonka lupasin Emmalle aikaisemmassa keskustelussa, kun hän pyysi minua kertomaan näkemyksiäni siitä, mitä matematiikka oikeastaan on sekä “oikean” matematiikan kouluopetuksesta. Kiireinen periodin loppu ja vappu eivät myöskään ole viime aikoina tukeneet kauheasti tänne kirjoittelua.

Matematiikka on pitkälti lähtöisin siitä yksinkertaisen ja itsestäänselvän oloisesta ajatuksesta, että voimme laskea asioiden lukumääriä ja mitata pituuksia, sekä käyttää erilaisia symboleita näiden asioiden ilmaisemiseen. Tämän kehittäminen pidemmälle johtaa luontevasti moniin matemaattisiin peruskäsitteisiin – esimerkiksi negatiiviset luvut ovat perin luonnollinen ajatus, kun halutaan tutkia absoluuttisten arvojen sijaan arvojen muutoksia. Pian törmätä monimutkaisempiin ja hämmentäviin ilmiöihin, kuten esimerkiksi kreikkalaiset huomasivat tajutesssaan neliöjuuri kahden irrationaalisuuden. Näin yksinkertaisista lähtökohdista syntyy matematiikka tieteenä.

Historiallisesti matematiikan lähtökohtana on ollut nimenomaan ihmisten intuitiivinen käsitys asioista. Huomattavan vähän aikaa uhrattiin matematiikan perusteiden miettimiseen, ainakaan siinä mielessä missä asia nykyään ymmärretään. Fysikaalisesta maailmasta lähtevät perusajatusmallit riittivätkin matematiikan rakentamiseen melko pitkälle, koska ehkä yllättäenkin perusajatukset esimerkiksi luonnollisista luvuista ovat aika samanlaiset kaikilla ihmisillä. Kuitenkin viimeistään differentiaali- ja integraalilaskennan kehityksen myötä kävi selväksi, ettei tällainen intuitionistinen lähestymistapa riitä enää käsitteiden muuttuessa monimutkaisemmiksi ja abstraktimmeiksi, vaan se johtaa epäselvyyksiin ja jättää matemaattiset argumentit pitkälti käsienheiluttelun varaan (vrt. aikaisempi merkintäni aiheesta “1 = 0,999…”). Niinpä 1800-luvulla keskeisille matemaattisille käsitteille muodostettiin formaalit määritelmät poistamaan tällaiset epämääräisyydet.

Tietyssä mielessä tämä on yksi matematiikan keskeisistä ajatuksista – matematiikka tieteenä tutkii abstrakteja formaalisti määriteltyjä struktuureita, jotka vastaavat sitten intuitiivisia käsityksiämme. Esimerkiksi luonnolliset luvut ovat struktuuri, joka vastaa normaalia käsitystä lukumäärien laskemisesta. Nämä formaali määritelmät sitten antavat yksikäsitteisen pohjan, jonka pohjalta voidaan tutkia matematiikkaa loogisen päättelyn kautta ilman monitulkintaisuutta tai intuition riittämättömyyden tuomia epämääräisyyksiä.

Tässä yhteydessä on myös syytä todeta, että matematiikka nimenomaan tähtää näiden abstraktien rakenteiden ymmärtämiseen. Laskeminen, hyvin laajastikin tulkittuna, on vain hyvin pieni osa matematiikkaa – itse asiassa melkein kutsuisin sitä kouluainetta laskennoksi enkä matematiikaksi. Pääasiassa “oikea” matematiikka siis tutkii matemaattisia struktuureja ja pyrkii selvittämään niiden rakennetta ja ominaisuuksia. Tämän vuoksi matemaatikkojen tärkein työkalu on todistaminen, ei laskeminen. Toki laskemiseltakaan ei voi tällä alalla välttyä, ja soveltavammassa matematiikassa laskemisella on suurempi rooli, vaikkakin se yleensä tehdään tietokoneilla eikä käsin.

Vaikka matematiikka onkin formaalille pohjalle rakennettu tiede, ei kannata kuitenkaan erehtyä luulemaan, että sen tutkimus perustuisi yksiomaan formaaliin pyörittelyyn. Matematiikan ymmärtäminen ja tutkiminen toimii kuitenkin pitkälti intuition pohjalta – matemaatikko vain joutuu sopeuttamaan intuitionsa vastaamaan formaaleja määritelmiä ja abstrakteja matemaattisia struktuureja. Uusien matemaattisten tulosten kehittäminen vaatii myös paljon luovuutta. Vastaavasti abstraktiudestaan huolimatta matematiikka on osoittautunut uskomattoman hyödylliseksi työkaluksi todellisen maailman ymmärtämisessä ja mallintamisessa.

Epäilemättä matematiikkaa opetetaan kouluissa nimenomaan sen vuoksi, että se toimii tehokkaana työkaluna miltei kaikissa ihmisten tekemisissä. Joudun myöntämään, etten itse ole kauheasti tutustunut siihen, miten kouluissa matematiikkaa nykyään opetetaan. Tunnen kuitenkin aika paljon matematiikan aineenopettajaksi kouluttautuvia, sillä kyseistä koulutusta annetaan meidän laitoksellamme. Heidän kertomien juttujen perusteella minusta vaikuttaa, että koulussa joillain oppilailla on vaikeuksia ymmärtää matematiikkaa kokonaisuutena, vaan asioita opitaan lähinnä irrallisena kokoelmana yksittäisiä mekaanisia laskualgoritmeja. Usein matematiikkaa ei nähdä lainkaan kiinnostavana aiheena, vaan se vaikuttaa kuivalta ja täysin tosielämästä irralliselta abstraktilta hölynpölyltä. Kokemusteni perusteella väittäisin, että peruskoulu- ja lukiomatematiikka voisi jossain määrin hyötyä siitä, että opetusohjelmaan otettaisiin mukaan sopivilla tavoin enemmän “oikeaa” matematiikkaa.

Ensinnäkin matematiikan filosofiaa ja formaalia puolta olisi mielestäni hyödyllistä purkaa jossain määrin jo peruskoulussa. Matematiikka voisi muuttua ymmärrettäväksi, jos opiskelijoille kerrottaisiin, mitä se oikeastaan on. Tottuminen siihen, että matematiikassa tutkitaan oikeasti formaalisti määriteltyjä abstrakteja rakenteita voisi helpottaa kokonaiskuvan muodostumista ja madaltaa kynnystä siirtyä konkreettisesta perusmatematiikasta abstraktimpiin aiheisiin. Oman kokemukseni mukaan mitään tällaista ei varsinaisesti koulussa tullut, ja se varmaan tarjoaisi monille kipinää tutustua matematiikkaan syvemmältikin.

Myös matematiikan valtavaa arvoa tieteiden ja tekniikan työkaluna tulisi mielestäni korostaa enemmän kouluopetuksessa. Irrallisena abstraktina konstruktiona derivaatta ja integraali eivät varmaan monia opiskelijoita kauheasti inspiroi, mutta jos samalla kerrottaisiin, kuinka ne toimivat yhtenä keskeisenä työkaluna miltei kaikissa moderneissa luonnontieteissä sekä tekniikan alalla, voisi vaikutelma olla erilainen. Soveltamiseen suuntautuneenpia ihmisiä voisi myöskin kiinnostaa, jos niitä opittuja käsitteitä oikeasti sovellettaisiin johonkin lukiossa, eikä vain leikkitehtävien tasolla. Samalla voisi avata hieman näköaloja lukiotietämystä pidemmälle menevään matematiikkaan.

Lisäksi matematiikka on parhaimmillaan uskomattoman kaunista ja opettaa mielenkiintoisia tapoja katsoa maailmaa. Matemaatikkojen kuulee usein puhuvan todistusten ja matemaattisten ideoiden kauneudesta, ja mielestäni on ihan perusteltua pitää matematiikkaa taiteena. Koulussa ei välttämättä ole riittävää matemaattista pohjatietoutta tutustua siihen kaikkein eleganteimpaan matematiikkaan, mutta yksinkertaisiakin kauniita esimerkkejä lienee mahdollista keksiä.

Yhteenvetona siis tarjoaisin koulujen matematiikanopetukseen nimenomaan sitä matematiikan ymmärtämispuolta, joka toisinaan kuulostaa olevan hieman hukassa koulumaailmassa. Matematiikka kuitenkin on kaunis abstrakti systeemi, jonka päälle rakentuu käytännössä kaikki ihmiskunnan luonnontieteellinen ymmärrys. On siis kovin sääli, jos lukion käyneelle nuorelle on jäänyt siitä käteen vain kasa yksittäisi laskutemppuja.