Käytännössä tämä sitten tarkoittaa, että intressini keskittyvät tulevana vuonna jonnekin muualle kuin opetukseen. Olen kyllä jo tainnut päätyä tietojenkäsittelytieteen laitoksella opettajatuutoriksi, kiitos Sini Ruohomaan, mutta pääasiassa tulen panostamaan omiin opintoihini ja työhön. Vapaan ultrafiltterin kannalta tämä on valitettavaa – minulla ei tule olemaan aikaan sen kirjoittamiseen. Rehellisesti sanoen olen muutenkin kasvanut erilleen tästä projektista, sillä asetin itselleni tarpeettoman suuret laatuvaatimukset näiltä teksteiltä, mikä aina vaikeuttaa kirjoittamista. Perfektionismista on vaikea parantua.

Olen ajatellut aloittaa uuden, vähemmän kunnianhimoisen ja laatutavoitteellisen, blogin jossain vaiheessa syksyä satunnaisten ajatusten purkamiseen. Jos/kun saan sen liikkeelle, laitan tänne vielä linkin. Kiitos kaikille lukijoille kiinnostuksesta.

Aiheesta on tietysti sanottu muuallakin paljon. Yleisimmin viitatut tekstit aiheesta ainakin täällä Kumpulassa ovat varmaan Jouni Sirenin pätkä aiheesta ja Antti Valmarin Matematiikan tarve ohjelmistotyössä. Puhun tässä osaltaan samoista asioista kuin hekin. Tätä lukiessa kannattaa myös huomata, että olen ensisijaisesti matemaatikko, en tietojenkäsittelytieteilijä, vaikka kokemusta molemmilta aloilta onkin.

Aloittavalle tietojenkäsittelytieteilijälle on ensinnäkin hyödyllistä, jos lukiomatematiikasta on jäänyt jotain käteen. Perustaidot lukujen pyörittelystä ovat tärkeitä, sillä koodatessa joutuu hyvin usein tekemisiin yksikertaisten laskutoimitusten kanssa. Samoin kaavojen lukemisen taidon on suotavaa olla hallussa, jottei tarvitse pelästyä siinä vaiheessa kun niitä tulee vastaan. Lukiossa siis pitäisi olla oppinut numeroidenlukutaitoa ja peruslaskemista. Valitettavasti välillä opiskelijoilla tuntuu olevan lukion jäljiltä perusnegatiivinen asenne matematiikkaa kohtaan, ja koko ainetta halutaan vältellä mahdollisimman paljon – mikä sitten kostautuu siinä vaiheessa, kun matematiikkaa välttämättä tarvitsee.

Tietojenkäsittelytieteestä ja matematiikasta puhuttaessa on tietysti huomattava, että tietojenkäsittelytieteessä tarvittava matematiikka on pääosin formaalia yliopistomatematiikkaa, joka on poikkeaa melko paljon lukiossa opetettavasta matematiikasta – mistä olenkin puhunut aikaisemmin laajemmalti. Tämä tulee yleensä yllätyksenä aloittaville opiskelijoille. Yliopistolla matematiikassa on korostuneesti tärkeää asioiden ymmärtäminen, eikä laskukaavojen ulkoaopettelulla opi mitään tai edes läpäise kursseja.

Matematiikan rooli tietojenkäsittelytieteessä onkin toimia eksaktina kielenä ja työkaluna. Sen avulla voi täsmällisesti ja lyhyesti ilmaista monimutkaisia asioita ja käsitteitä. Toisaalta se tarjoaa abstraktioita ja tehokkaita tapoja käsitellä erinäisiä ilmiöitä. Voimakkuutensa vuoksi matematiikka on keskeisessä roolissa monella tietojenkäsittelytieteen osa-alueella, eikä niiden ymmärtäminen ilman riittävää matemaattista pohjatietoutta ole mahdollista.

Esimerkkejä matematiikan käytöstä on helppo keksiä. Klassisena esimerkkinä kryptografia perustuu vahvasti matemaattiseen teoriaan, erityisesti lukuteoriaan ja elliptisten käyrien teoriaan. Ohjelmointikielten kääntäjien yhteydessä on hyvä tuntea formaalien kielien teoriaa. Koneoppiminen ja laskennallinen data-analyysi taas perustuvat pitkälti todennäköisyyslaskentaan. Äärimmäisenä esimerkkinä toimii laskettavuuden teoria, joka toimii tietojenkäsittelytieteen teoreettisena pohjana ja on käytännössä puhdasta matematiikkaa. Joillain harvoilla osa-alueilla, kuten ohjelmistotuotannossa ja käyttöliittymäsuunnittelussa, formaalia matematiikkaa ei tosiaan varsinaisesti tarvitse, mutta nämä muodostavat vain pienen osan tietojenkäsittelytieteestä.

Loppujen lopuksi matematiikka ja tietojenkäsittelytiede ovat eksakteina tieteinä läheistä sukua toisilleen (ei ole sattumaa, että molemmat laitokset sijaitsevat Kumpulassa Exactum-nimisessä rakennuksessa), ja toisen opiskelusta on hyötyä toisessa. Kuten aikaisemmin viitatut artikkelitkin toteavat, kaikista matematiikan laitoksen kursseista ei aina ole suoraa hyötyä käytännön tietojenkäsittelytieteessä, mutta eksaktin ajattelumallin oppiminen on korvaamattoman arvokasta. Matematiikan opiskelu tulee siis ottaa tosissaan heti alusta lähtien. Suosittelen myös hylkäämään lukiosta perityt ennakkoluulot ja lähestymään yliopistomatematiikkaa avoimin mielin.

(Syksyn lähestyessä palaan varmaan tähän aiheeseen uudelleen, varsinkin kun olen näillä näkymin pitämässä laskuharjoituksia erityisesti tietojenkäsittelytieteen fuksien suosimilla matematiikan kursseilla.)

Vapaan ultrafiltterin alkuperäinen tarkoitus oli olla matematiikasta ja matematiikan opiskelusta kertova blogi, ja kipinän sen perustamiseen sain lopulta siitä, kun yliopiston hakijapalvelut etsivät opiskelijoita kirjoittamaan kokemuksistaan yliopistolla, osittain markkinointina yliopistolle. Koska matematiikan popularisointi ja blogaaminen olivat jo pitkään olleet todo-listallani, tartuin tilaisuuteen ja aloitin kirjoittamisen. Olen kuitenkin huomannut, että varsinaiset matematiikkaa käsittelevät merkinnät ovat olleet niitä antoisimpia, eikä minulla oikeastaan ole omasta mielestäni mitään erityisen kiinnostavaa sanottavaa opiskelijaelämästä.

Jatkossa suunnitelmanani onkin keskittyä yksinomaan matematiikan, ja osittain varmaan tietojenkäsittelytieteenkin, käsittelyyn. Osittain tämä liittyy kunnianhimoihini matematiikan popularisoinnin ja pedagogiikan suhteen. Tavoitteenani olisi rakentaa kokonaisuus, joka herättää kiinnostuksen matematiikan syvyyksien tarkasteluun sekä tukee sen opiskelun alkuvaiheita. Olen nimittäin opetustyössä ja muutenkin matematiikan laitoksella huomannut, että usein matematiikkaa on vaikea lähestyä sen ulkopuolelta ja siitä kiinni saaminen on aluksi vaikeaa. Ajateltuina kohderyhminä ovat edelleen lukiolaiset sekä yliopistolla vähemmän matematiikan kanssa työskennelleet opiskelijat. Unohtamatta tietenkään tietojenkäsittelytieteilijöitä ja muita koodareita.

Tämä on ainakin suuri suunnitelmani tällä hetkellä. Nähtäväksi jää, yllänkö tähän ideaaliini.

Graduni tulee näillä näkymin käsittelemään deskriptiivistä kompleksisuusteoriaa, joka on vahvasti teoreettiseen tietojenkäsittelytieteeseen liittyvä osa äärellistä malliteoriaa. Vielä yleisemmällä tasolla kyseinen ala putoaa logiikan alle. Aiheen abstraktiuden vuoksi sen yksityiskohtainen purkaminen tässä blogissa jäänee väliin, mutta sen yhteydet tietojenkäsittelytieteeseen antavat konkreettisemman tavan lähestyä sen keskeisiä ajatuksia.

Teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä yksi tärkeistä kysymyksistä on se, kuinka nopeasti jokin annettu ongelma voidaan ratkaista tietokoneella. Koska tietokoneissa on nykyään niin valtavasti eroja ja prosessorit ovat huomattavan monimutkaisia, kysymystä tarkastellaan yleensä abstraktimmasta viitekehyksestä ja unohdetaan oikea tietokoneet. Tietojenkäsittelytieteen puolella tämä tehdään yleensä tarkastelemalla matemaattista “ideaalista” tietokonetta, Turingin konetta, ja kiinnostuksen kohteena on erityisesti kuinka laskentaan vaaditun ajan määrä kasvaa syötteen kasvaessa. Tarkemmin ottaen halutaan määrittää jokin funktio, joka vakiokertoimia lukuunottamatta toimii ylärajana ongelman ratkaisevan ohjelman vaatimille laskenta-askelille, kun parametrina annetaan syötteen koko. Esimerkiksi jos on annettuna n kappaletta lukuja, ne voidaan järjestää ajassa n^2, eli laskenta-askelia tarvitaan aina vähemmän kuin joku vakiokerroin kertaa n^2. Tämä tulos saadaan suhteellisen helposti esittämällä jokin sopiva algoritmi lukujen järjestämiseen. Vastaavasti tietysti voidaan tarkastella laskentaongelman vaatiman muistin määrää.

Teoreettisesta näkökulmasta asioita voidaan abstrahoida vielä lisää ja määritellä laskentaongelmien luokkia, jotka ovat tietyllä tapaa luonnollisia. Esimerkiksi PTIME on niiden laskentaongelmien luokka, joiden aikavaativuus on funktiota n^d pienempi jollain luonnollisella luvulla d. PSPACE on vastaava luokka, kun rajoitteena pidetään ohjelman käyttämää muistin määrää ajan sijasta. Tavallaan voidaan ajatella, että PTIME on inhimillisessä ajassa laskettavien ongelmien luokka ja vastaavasti PSPACE sisältää ne ongelmat, jotka voidaan ratkaista käyttämällä järjellinen määrä muistia. Eräs toinen merkittävä luokka on NPTIME. Se poikkeaa edellisistä luokista siinä mielessä, ettei sen määritelmässä tarkastella suoraan ongelmien vaatimaa aikaa, vaan vaaditaan, että jos meille on etukäteen annettu vastaus ongelmaan, niin meidän täytyy pystyä tarkastamaan vastauksen oikeellisuus nopeasti. Toisin sanoen NPTIME-ongelman oikean vastauksen varmistaminen oikeaksi on PTIME-ongelma. Toinen määritelmä NPTIME:lle saataisiin epädeterminististen – siis tietyssä mielessä rinnakkaislaskevien – Turingin koneiden kautta, mutten käsittele aihetta tässä.

Näihin vaativuusluokkiin liittyy paljon hyvinkin merkittäviä avoimia kysymyksiä. Tiedetään esimerkiksi, että kaikki PTIME-ongelmat ovat myös NPTIME-ongelmia ja vastaavasti kaikki NPTIME-ongelmat PSPACE-ongelmia, eli PTIME on mainituista luokista “helpoin” ja PSPACE “vaikein”. Toisaalta ei ole mitään takeita siitä, että luokat PTIME ja NPTIME olisivat erilliset – on siis mahdollista että tapa tarkastaa ratkaisu nopeasti antaa suoraan nopean tavan löytää vastaus. Suurin osa tietojenkäsittelytieteilijöistä kuitenkin uskoo, johtuen vahvoista viitteistä tähän suuntaan, että PTIME ja NPTIME eivät ole sama luokka. Kaikki modernit salausmenetelmät perustuvatkin tälle olettamukselle ja itse asiassa tämä P-NP-ongelma on yksi merkittävimmistä matematiikan avoimista kysymyksistä.

Tämän kaiken pohjustuksen jälkeen päästään sitten deskriptiiviseen kompleksisuusteoriaan. Siinä ajatuksena on, että tietokoneohjelmien syötteitä voidaan pitää matemaattisina malleina, ja niistä voidaan puhua logiikan avulla. Huomautettakoon toki, että tässä logiikka tulkitaan hyvin yleisessä muodossa, eli logiikka on periaatteessa mikä tahansa formaali kieli, jolla on hyvin määritelty merkitys ja jota voidaan käyttää malleista puhumiseen. Näin havaitaan, että vaativuusluokille voidaan löytää logiikat, joiden ilmaisuvoima on vastaa vaativuusluokassa laskettavia asioita. Siis esimerkiksi luokkaa PTIME vastaa logiikka FO(IFP), niin että logiikassa FO(IFP) voidaan kuvailla täsmälleen ne mallien ominaisuudet, joiden kohdalla on PTIME-ongelma selvittää onko annetussa tietokoneen syötteessä kyseinen ominaisuus. Tavallaan nämä logiikat voidaan siis nähdä “ohjelmointikielinä”, joilla voi ratkaista vain tietyn luokan ongelmia. Tällaisten logiikoiden olemassaolo sekä tarjoaa uusia työkaluja luokkien suhteiden tutkimiseen sekä antaa jossain mielessä kauniimpia karakterisaatioita vaativuusluokille. Huomautettakoon vielä kuitenkin, että deskriptiivisessä kompleksisuusteoriassakin on vielä paljon keskeisiä kysymyksiä, joihin ei tunneta vastausta.

Tämänkertainen aihe oli tosiaan vielä abstraktimpi kuin aikaisemmat matematiikka-merkintäni. Jos koet, että joku kohta oli epäselvä, kaipaat muuten vaan selvennystä tai mieleesi tulee miten asian voisi ilmaista fiksummin, jätä ihmeessä kommentti.

Äitienpäivän kunniaksi vierailin taas pitkästä aikaa vanhempieni luona. Kaukana kaupungin melusta jotenkin aina tuudittautuu leppoiseen olemassaoloon, eikä vierailujen aikana oikein tule tehtyä mitään muuta kuin syötyä ja käveltyä metsässä, vaikka opiskeluhommia pitäisi saada aikaan. Onneksi metsässä kävely on rentouttavaa ja äidin laittama ruoka hyvää.

Kasvoin noin sadan kilometrin päässä Helsingistä, ja opintojeni alkuvaiheessa kävin kotona melkein joka viikonloppu. Sittemmin olen juurtunut tiukemmin opiskelijaelämään, ja vähitellen aloin viettämään viikonloppuni yhä useammin pääkaupunkiseudulla. Sinällään se ei ole mikään ihme, sillä yliopistolla melkein väkisinkin tutustuu uusiin ihmisiin ja alkaa muodostaa sosiaalisia kontakteja. Samaan aikaan kotiseudun kaverit hajaantuvat vähitellen omille teilleen, jolloin vanhat siteet heikkenevät. Sosiaalinen elämä siirtyy opiskelukaupunkiin, eikä kotiin enää palaa muuten kuin tapaamaan vanhempiaan.

Nykyään muutenkin tunnen olevani kauhean kiireinen, kun opiskelen ja teen töitä samaan aikaan, sekä puuhastelen mukana erinäisissä järjestöhommissa. Tänä vuonna olenkin käynyt vanhempieni luona todennäköisesti yhdellä kädellä laskettavan määrän kertoja. Ei siis liene yllättävää, että varsinkin äitini tuntuu aina ikävöivän minua. Satun nimittäin olemaan perheen ainut lapsi, ja kuulemma nimenomaan sen ainoan lapsen karkaaminen maailmalle on vanhemmille paljon rankempaa kuin jos lapsia on useampia.

Tätä kirjoittaessani istunkin taas junassa matkalla kohti Helsinkiä. Ensi viikolla olisi edessä muutaman kurssin lopputentit. Samalla pitäisi vielä viimeistellä työprojektiani, sillä olen nyt lopettamassa työskentelyn tietojenkäsittelytieteen laitoksella toukokuun lopussa ja hommat pitäisi saada paketoitua siihen mennessä. Tenttivyörytyksen jälkeen sitten alkaakin heti taas kesäopinnot, ja gradustakin on jo ollut alustavasti puhetta. Kesälomasta ei siis ole tietokaan vielä ainakaan kuukauteen, vaikka tahdin pitäisi kyllä hieman helpottaa kuun vaihteessa.

Matematiikka on pitkälti lähtöisin siitä yksinkertaisen ja itsestäänselvän oloisesta ajatuksesta, että voimme laskea asioiden lukumääriä ja mitata pituuksia, sekä käyttää erilaisia symboleita näiden asioiden ilmaisemiseen. Tämän kehittäminen pidemmälle johtaa luontevasti moniin matemaattisiin peruskäsitteisiin – esimerkiksi negatiiviset luvut ovat perin luonnollinen ajatus, kun halutaan tutkia absoluuttisten arvojen sijaan arvojen muutoksia. Pian törmätä monimutkaisempiin ja hämmentäviin ilmiöihin, kuten esimerkiksi kreikkalaiset huomasivat tajutesssaan neliöjuuri kahden irrationaalisuuden. Näin yksinkertaisista lähtökohdista syntyy matematiikka tieteenä.

Historiallisesti matematiikan lähtökohtana on ollut nimenomaan ihmisten intuitiivinen käsitys asioista. Huomattavan vähän aikaa uhrattiin matematiikan perusteiden miettimiseen, ainakaan siinä mielessä missä asia nykyään ymmärretään. Fysikaalisesta maailmasta lähtevät perusajatusmallit riittivätkin matematiikan rakentamiseen melko pitkälle, koska ehkä yllättäenkin perusajatukset esimerkiksi luonnollisista luvuista ovat aika samanlaiset kaikilla ihmisillä. Kuitenkin viimeistään differentiaali- ja integraalilaskennan kehityksen myötä kävi selväksi, ettei tällainen intuitionistinen lähestymistapa riitä enää käsitteiden muuttuessa monimutkaisemmiksi ja abstraktimmeiksi, vaan se johtaa epäselvyyksiin ja jättää matemaattiset argumentit pitkälti käsienheiluttelun varaan (vrt. aikaisempi merkintäni aiheesta “1 = 0,999…”). Niinpä 1800-luvulla keskeisille matemaattisille käsitteille muodostettiin formaalit määritelmät poistamaan tällaiset epämääräisyydet.

Tietyssä mielessä tämä on yksi matematiikan keskeisistä ajatuksista – matematiikka tieteenä tutkii abstrakteja formaalisti määriteltyjä struktuureita, jotka vastaavat sitten intuitiivisia käsityksiämme. Esimerkiksi luonnolliset luvut ovat struktuuri, joka vastaa normaalia käsitystä lukumäärien laskemisesta. Nämä formaali määritelmät sitten antavat yksikäsitteisen pohjan, jonka pohjalta voidaan tutkia matematiikkaa loogisen päättelyn kautta ilman monitulkintaisuutta tai intuition riittämättömyyden tuomia epämääräisyyksiä.

Tässä yhteydessä on myös syytä todeta, että matematiikka nimenomaan tähtää näiden abstraktien rakenteiden ymmärtämiseen. Laskeminen, hyvin laajastikin tulkittuna, on vain hyvin pieni osa matematiikkaa – itse asiassa melkein kutsuisin sitä kouluainetta laskennoksi enkä matematiikaksi. Pääasiassa “oikea” matematiikka siis tutkii matemaattisia struktuureja ja pyrkii selvittämään niiden rakennetta ja ominaisuuksia. Tämän vuoksi matemaatikkojen tärkein työkalu on todistaminen, ei laskeminen. Toki laskemiseltakaan ei voi tällä alalla välttyä, ja soveltavammassa matematiikassa laskemisella on suurempi rooli, vaikkakin se yleensä tehdään tietokoneilla eikä käsin.

Vaikka matematiikka onkin formaalille pohjalle rakennettu tiede, ei kannata kuitenkaan erehtyä luulemaan, että sen tutkimus perustuisi yksiomaan formaaliin pyörittelyyn. Matematiikan ymmärtäminen ja tutkiminen toimii kuitenkin pitkälti intuition pohjalta – matemaatikko vain joutuu sopeuttamaan intuitionsa vastaamaan formaaleja määritelmiä ja abstrakteja matemaattisia struktuureja. Uusien matemaattisten tulosten kehittäminen vaatii myös paljon luovuutta. Vastaavasti abstraktiudestaan huolimatta matematiikka on osoittautunut uskomattoman hyödylliseksi työkaluksi todellisen maailman ymmärtämisessä ja mallintamisessa.

Epäilemättä matematiikkaa opetetaan kouluissa nimenomaan sen vuoksi, että se toimii tehokkaana työkaluna miltei kaikissa ihmisten tekemisissä. Joudun myöntämään, etten itse ole kauheasti tutustunut siihen, miten kouluissa matematiikkaa nykyään opetetaan. Tunnen kuitenkin aika paljon matematiikan aineenopettajaksi kouluttautuvia, sillä kyseistä koulutusta annetaan meidän laitoksellamme. Heidän kertomien juttujen perusteella minusta vaikuttaa, että koulussa joillain oppilailla on vaikeuksia ymmärtää matematiikkaa kokonaisuutena, vaan asioita opitaan lähinnä irrallisena kokoelmana yksittäisiä mekaanisia laskualgoritmeja. Usein matematiikkaa ei nähdä lainkaan kiinnostavana aiheena, vaan se vaikuttaa kuivalta ja täysin tosielämästä irralliselta abstraktilta hölynpölyltä. Kokemusteni perusteella väittäisin, että peruskoulu- ja lukiomatematiikka voisi jossain määrin hyötyä siitä, että opetusohjelmaan otettaisiin mukaan sopivilla tavoin enemmän “oikeaa” matematiikkaa.

Ensinnäkin matematiikan filosofiaa ja formaalia puolta olisi mielestäni hyödyllistä purkaa jossain määrin jo peruskoulussa. Matematiikka voisi muuttua ymmärrettäväksi, jos opiskelijoille kerrottaisiin, mitä se oikeastaan on. Tottuminen siihen, että matematiikassa tutkitaan oikeasti formaalisti määriteltyjä abstrakteja rakenteita voisi helpottaa kokonaiskuvan muodostumista ja madaltaa kynnystä siirtyä konkreettisesta perusmatematiikasta abstraktimpiin aiheisiin. Oman kokemukseni mukaan mitään tällaista ei varsinaisesti koulussa tullut, ja se varmaan tarjoaisi monille kipinää tutustua matematiikkaan syvemmältikin.

Myös matematiikan valtavaa arvoa tieteiden ja tekniikan työkaluna tulisi mielestäni korostaa enemmän kouluopetuksessa. Irrallisena abstraktina konstruktiona derivaatta ja integraali eivät varmaan monia opiskelijoita kauheasti inspiroi, mutta jos samalla kerrottaisiin, kuinka ne toimivat yhtenä keskeisenä työkaluna miltei kaikissa moderneissa luonnontieteissä sekä tekniikan alalla, voisi vaikutelma olla erilainen. Soveltamiseen suuntautuneenpia ihmisiä voisi myöskin kiinnostaa, jos niitä opittuja käsitteitä oikeasti sovellettaisiin johonkin lukiossa, eikä vain leikkitehtävien tasolla. Samalla voisi avata hieman näköaloja lukiotietämystä pidemmälle menevään matematiikkaan.

Lisäksi matematiikka on parhaimmillaan uskomattoman kaunista ja opettaa mielenkiintoisia tapoja katsoa maailmaa. Matemaatikkojen kuulee usein puhuvan todistusten ja matemaattisten ideoiden kauneudesta, ja mielestäni on ihan perusteltua pitää matematiikkaa taiteena. Koulussa ei välttämättä ole riittävää matemaattista pohjatietoutta tutustua siihen kaikkein eleganteimpaan matematiikkaan, mutta yksinkertaisiakin kauniita esimerkkejä lienee mahdollista keksiä.

Yhteenvetona siis tarjoaisin koulujen matematiikanopetukseen nimenomaan sitä matematiikan ymmärtämispuolta, joka toisinaan kuulostaa olevan hieman hukassa koulumaailmassa. Matematiikka kuitenkin on kaunis abstrakti systeemi, jonka päälle rakentuu käytännössä kaikki ihmiskunnan luonnontieteellinen ymmärrys. On siis kovin sääli, jos lukion käyneelle nuorelle on jäänyt siitä käteen vain kasa yksittäisi laskutemppuja.

Yksi hienoista asioista matematiikan opiskelussa on se, että niinkin mystisen ja ihmeellisen kuuloinen käsite kuin äärettömyys on osa normaalia arkipäivää. Pidemmälle menevässä matematiikassa kun äärettömyyden käsite tulee välttämättä vastaan. Mutta ei hätää, äärettömyyteen liittyvät perusajatukset ovat itse asiassa aika helppoja.

Perustietoina on kuitenkin ensin hyvä tietää minkälainen otus on joukko. Yksinkertaisimmillaan joukko on vain kokoelma matemaattisia objekteja. Joukko voidaan antaa vaikkapa luettelemalla kaikki sen alkiot, yleensä aaltosulkujen välissä. Siis esimerkiksi

{1, 2, 3, 4}

tarkoittaa joukkoa, jossa on numerot 1, 2, 3 ja 4. On myös hyvä tietää, että joukot määritellään niin, ettei alkiot voi kuulua joukkoon useampaa kertaa – siis jos meillä on annettuna joukko ja alkio, niin alkio joko kuuluu joukkoon tai ei kuulu joukkoon. Muita mahdollisuuksia ei ole, eli jokin alkio ei voi esimerkiksi kuulua joukkoon kahta kertaa. Tietysti joukkoihin liittyy paljon kaikkea muutakin, mutta tämä riittää toistaiseksi tarkoituksiimme.

Tutkitaan sitten luonnollisten lukujen joukkoa

eli joukkoa, johon kuuluvat siis täsmälleen kaikki positiiviset luvut (luonnollisten lukujen joukon symboli on iso n-kirjain ns. “blackboard bold” -fonttikorostuksella). Helposti huomaa, ettei tämän joukon alkioden lukumäärää voi esittää luonnollisena lukuna, tai toisin ajateltuna siis alkioiden lukumäärää ei voi laskea, koska alkoita on liikaa. Luonnollisten lukujen joukko on siis tavallaan äärettömän monta alkiota! Tämä on intuitiviisella tasolla se, mitä ääretön joukko tarkoittaa, mutta miten tämä asia esitetään täsmällisemmin?

Äärellisten joukkojen tapauksessa voidaan aina puhua joukon alkioiden lukumäärästä. Esimerkiksi ensimmäinen esimerkkijoukko sisälsi neljä alkiota, eli sanotaan, että sen koko on neljä. Tämä tapa puhua joukkojen koosta ei kuitenkaan yleisty äärettömien joukkojen tapaukseen, kuten jo huomasimme. Tarvitsemme siis jonkin paremman tavan vertailla joukkojen kokoa.

Jos asiaa kuitenkin miettii tarkemmin, huomaamme, että voimme ilmaista kahden äärellisen joukon olevan saman kokoiset puhumatta niiden alkoiden lukumääristä: kaksi äärellistä joukkoa ovat samankokoiset täsmälleen silloin kun niiden alkiot voidaan laittaa pareiksi niin, että jokaisessa parissa on alkio molemmista joukoista. Esimerkiksi joukon

{4, 5, 6, 7}

koko on neljä, ja sen alkiot voidaan laittaa pareihin seuraavasti aikaisemman esimerkkijoukon kanssa:

(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)

Huomaa, että luku 4 on molemmissa joukoissa, joten se otetaan kahteen pariin, kerran ensimmäisestä joukosta, kerran toisesta joukosta. Tietysti sama luku ei saa esiintyä kahdessa parissa samasta joukosta otettuna. Sama käsite toimii myös joukkojen koon vertailuun: muodostamme vastaavasti pareja kahden joukon alkioista, ja jos toisen joukon alkioita jää yli, tällöin kyseinen joukko on suurempi.

Tämä esitelty lähestymistapa toimii yleisesti kaikilla joukoilla. Voimme myös tehdä erinäisiä mielenkiintoisia havaintoja koskien äärettömiä joukkoja. Tutkitaan joukkoa, jossa on kaikkien luonnollisten lukujen toiset potenssit:

Voimme asettaa nämä luvut pareiksi kaikkien luonnollisten lukujen kanssa ottamalla jokaiseen pariin jonkun luonnollisen luvun ja sen pariksi joukosta A kyseisen luvun toisen potenssin. Tällöin saamme kaikki alkiot mukaan tällaisiin pareihin. Siis luonnollisten lukujen joukko on yhtä suuri kuin joukko A, vaikka joukossa A onkin vain osa luonnollisista luvuista! Itse asiassa äärettömän joukon määritelmäksi voidaan ottaa, että joukko on yhtä suuri jonkin osajoukkonsa kanssa. Toinen huomattavan kiinnostava havainto on se, että on olemassa eri kokoisia äärettömiä joukkoja. En mene tällä kertaa yksityiskohtiin, mutta voidaan osoittaa nokkelalla diagonalisointiargumentilla, että reaalilukujen joukko on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko.

On toki hyvä huomata, että oikeasti matematiikassa nämä käsitteet formalisoidaan jokseenkin teknisemmin, vaikka perusajatus pysyykin täsmälleen samana. Joukkojen kokojen vertailussa käytetään sopivien funktioiden (eli kuvauksien) olemassaoloa, jolloin ollaan kiinnostuneita siitä, onko olemassa funktiota, joka on injektio, surjektio tai bijektio. Jätän lukijalle harjoitustehtäväksi selvittää, mitä nämä käsitteet tarkoittavat ja miten ne suhtautuvat aikaisempaan esitystapaani.

Matematiikassa esiintyy muitakin erilaisia “äärettömän” käsitteitä, mutta tässä esittämäni on tietyllä tapaa luonnollisin ja keskeisin äärettömän käsite, johtuen osaltaan siitä, kuinka joukko-oppi toimii modernin matematiikan pohjakivenä. Lukiossa merkki esiintyy funktioiden raja-arvoista puhuttaessa, mutta tällöin kyse on yksinomaan rajakäyttäytymisestä – mitään “ääretöntä” asiaan ei varsinaisesti liity (kyseinen merkki on siis kyljelleen käännetty kahdeksikko – blogijärjestelmä vaikuttaa latovan sen jotenkin oudosti ainakin joidenkin selainten tapauksessa). Pidemmälle menevässä analyysin teoriassa kyllä laajennetaan reaalilukuja äärettömyysalkioilla (positiivinen ja negatiivinen ääretön), ja toisaalta hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen laajennos, joissa on ns. äärettömiä lukuja. Näissä tapauksissa kuitenkin on kyse siitä, että meillä on joukossa alkioita, joita kutsumme äärettömiksi niiden ominaisuuksien vuoksi, kun taas joukon koko on tietyssä mielessä alkukantaisempi käsite.

Töissä olen viime aikoina kehittänyt erästä työkaluohjelmistoa bioinformatiikan tutkimukseen ja samalla saanut ensimmäisiä oikeita kokemuksia sovelluskoodin kirjoittamisesta, kun normaalisti olen lähestynyt tietojenkäsittelytiedettä paljon teoreettisemmasta näkökulmasta. Jonkun muun kirjoittaman dokumentoimattoman koodin toiminnan selvittäminen ei ole erityisen hauskaa!

Tulevaisuudensuunnitelmien pyörittely on edelleen keskeinen osa tämänhetkistä elämääni. Nyt alkaisi kuitenkin vaikuttaa siltä, että olen vielä kesän töissä tietojenkäsittelytieteen laitoksella, varmaan samalla kun teen graduani ja luen muutamaan kesätenttiin. Samoin olen taas päätynyt keskustelemaan opetuksenkehitysasioista, ja jossain vaiheessa pitäisi päättää, haluaisiko syksyllä taas opettaa jotain. Ja valmistuminenkin väijyy edelleen nurkan takana, joten elämässä saattaa tapahtua vielä suuria muutoksia tänä vuonna.

Muissa uutisissa ikävästi Kumpulan kampuksen yliopistokirjakauppa on lopettamassa kuun lopussa. Tämän vuoksi siellä on nyt loppualennusmyynti, jota tekosyynä käyttäen olen ostellut kaikenlaisia tiede- ja oppikirjoja mauttomia määriä. Normaalisti tiedekirjallisuus on aika kallista, mutta nyt kun niitä saa alennuksella, eivät hinnat tunnu niin pahalta. Sitten kun aika vielä riittäisi kaikkien kirjojen lukemiseen, varsinkin kun matemaattisen kirjallisuuden lukeminen ei ole kovin nopeaa puuhaa – pari sivua tekstiä saattaa sisältää enemmän asiaa kuin yksi lukion pitkän matematiikan kurssi.

Mutta siis tällaista opiskelijan arkielämää. Kirjoittelen taas kiinnostavammista aiheista lähipäivinä!