Tehtävien kimpussa

Osallistuin touko-kesäkuussa laitoksellamme harvemmin järjestettävälle kombinatoriikan kurssille. Monia kombinatorisia ongelmia pohditaan jo koulumatematiikassa ja erityisesti nuorten kilpamatematiikassa. Kurssi on siis opettajaopiskelijan (tai jo valmistuneen opettajan) näkökulmasta sisällöllisesti varsin mielekäs ja mielenkiintoinen. Silti itselläni vielä sisältöäkin tärkeämmäksi nousi mahdollisuus maistella muutaman vuoden tauon jälkeen matematiikan yliopistokurssia opiskelijan näkökulmasta. Olen nimittäin vakuuttunut siitä, että jokaiselle opettajalle on terveellistä aika-ajoin tutkailla opetusta ja opiskelua myös ”aidan toiselta puolelta”.

Kurssi oli monin tavoin varsin mainio keskittyessään muutamaan keskeiseen aiheeseen sekä niiden soveltamiseen kombinatoristen ongelmien ratkomisessa. Toisaalta kurssilla käytettiin tuttujen laskuharjoitusten ja luentojen lisäksi vertaisarviointia ja projektitöitä. ”Opettaja-minän” kannalta kurssin tärkeimmäksi jälkipohdinnaksi jäikin erilaisten harjoitusten ja opiskelun toteutustapojen miettiminen suhteessa kurssin tavoitteisiin.

Harjoitustehtäviä tehdessäni havaitsin nimittäin itsessäni karkeasti neljää (tai viittä) tehtävän ”loppuunviemisen astetta”. Nimetään nämä asteet vaikkapa seuraavasti:

  1. (Tehtävän ohittaminen)
  2. Tehtävän lukeminen ja ideoiden pyörittely
  3. Ratkaisun idean kehittely (yksityiskohdat tarkastamatta tai kokonaan tekemättä)
  4. Karkean ratkaisun laatiminen (muistiinpanot, joiden avulla ratkaisun selittäminen kaverille/yleisölle onnistuu)
  5. Viimeistellyn ratkaisun laatiminen (selkeästi muotoiltu ”oppikirjamainen” ratkaisu, jonka voi lukea ja ymmärtää helposti sellaisenaan)

Se, kuinka pitkälle ratkaisun vein, riippui jossain määrin siitä, odotettiinko kyseisestä tehtävästä esimerkiksi kirjallinen palautus vai oliko tehtävä tarkoitettu enemmän ”omaksi iloksi”. Voi siis sanoa, että suoritukseni riippui aika tavalla ulkoisesta motivoinnista! Mutta toisaalta sisäisen motivaation osuus oli suuri: ratkaisun laatimiseen käytetty vaiva riippui myös siitä kuinka innostavana, pirullisena, hyödyllisenä tai tylsänä tehtävää pidin.

Kurssilla oli viikoittaisia harjoitustehtäviä n. 15 kappaletta ja tämän lisäksi pohdittavaksi annettiin yksi setti kombinatoriikkaan liittyviä matematiikkaolympialaisten tehtäviä. Osa harjoitustehtävistä oli ”lisäpisteitä tuottavia” eli ne olivat kurssin tavoitteisiin nähden haastavampia, eikä niiden tekemistä edellytetty. Näistä ”extra credit”-tehtävistä osan voinkin myöntää lähes ohittaneeni, mutta käytännössä kuitenkin vähintään luin tehtävän, mallinsin sitä hieman ja totesin, että tehtävä ei ratkea aivan helposti. Vein siis toisin sanoen tehtävän ratkaisun tasolle 1.

Mielenkiintoinen vaihe oppimisen kokemuksen kannalta oli se, kun oikeasti kävi tehtävän kimppuun. Tein tehtäviä asteittain ja palasin niihin yleensä useaan otteeseen. Jos en suoraan nähnyt tehtävän takana piilevää ajatusta, aloitin mallintamalla tehtävää ja pyörittelemällä ideoita. Mikäli sopivaa ajatusta ei löytynyt, jätin tehtävän hautumaan ja palasin siihen parin päivän päästä uudestaan. Mikäli löysin lupaavan idean, vein ratkaisua suurpiirteisesti eteenpäin. Usein, mikäli tehtävä oli sellainen, jota ei käsitelty lainkaan laskuharjoitustilanteessa, jätin ratkaisun tälle tasolle (2) ja luin myöhemmin malliratkaisun, johon vertasin omaa ratkaisuani. En suuremmin tarkistanut yksityiskohtia tai jätin ne kokonaan tekemättä.

taso2

Tasolle 2 viety ratkaisu.

Tehtävän ratkaisun vieminen tasolle 3 on jotakin, johon olen tottunut omissa opinnoissani: laskuharjoitustilaisuuksiin valmistellaan tehtäviin sellaiset ratkaisut, jotka voi esittää muille esimerkiksi liitutaulun avulla puheella ryyditettynä. Suurin piirtein tälle tasolle tulikin vietyä laskuharjoitustilaisuuksissa käsitellyt tehtävät.

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu.

Mielenkiintoista kurssilla oli se, että ainakin yksi tehtävä viikossa tuli vietyä pidemmälle (tasolle 4). Kurssin harjoitustehtävistä yksi tehtävä viikossa vertaisarvioitiin Moodlen välityksellä. Tavoitteena oli oppia kirjoittamaan hyviä ratkaisuja, jotka vertainen voi hyvin ymmärtää. Tämä tuntui vahvistavan kokemustani, jonka mukaan tunnun oppivan asian parhaiten, jos joudun selittämään sen jollekin muulle tai tekemään aiheesta oppimateriaalia. Tämän lisäksi sisäinen motivaationi tehdä huolellinen ratkaisu tehtävään tuntuu kasvavan, jos ajattelen, että joku muu saattaa jollain tavalla hyötyä ratkaisustani.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Kokemuksistani seurasikin kysymys: minkälainen ”vaatimustaso” tehtävän ratkaisulle olisi kussakin tilanteessa parhaiten oppimista edistävä ja kurssin tavoitteisiin nähden tarkoituksenmukainen? Kokemukseni omista matematiikan opinnoistani oli, että tasolle 4 vietyä ratkaisua pyrittiin harjoittelemaan Analyysin harjoitustyössä (nykyään matematiikan harjoitustyössä ) ja tutkielmissa, mutta oikeasti opin matemaattisen tekstin kirjoittamista eniten opintojeni loppuvaiheessa laatiessani tehtävien malliratkaisuja laskuharjoitusten pitäjän roolissa. Siis oikeastaan opintojen ulkopuolella.

Nykyisillä laitoksemme kisällioppimisen menetelmällä toteutetuilla kursseilla matematiikan kirjoittamista on nostettu mukavasti esiin. Tehtäviä palautetaan kirjallisesti ja niistä saadaan palautetta. Tasolle 4 viemäni ratkaisut tuottivat ymmärrettävästi parhaan ”osaamiskokemuksen”. Toisaalta, kuten kaikki joskus matematiikkaa puhtaaksi kirjoittaneet varmasti tietävät, tällaisen ”nelostason ratkaisun” laatiminen vie myös paljon aikaa. Haastaisinkin itseni ja kaikki muutkin opettajat palaamaan opetuksen suunnittelussaan linjakkaan opetuksen hengessä peruslähtökohtiin:

  • Mitkä ovat kurssin oppimis- tai osaamistavoitteet?
  • Minkälaisilla järjestelyillä tavoitteet saataisiin parhaiten toteutumaan?
    • Alakysymyksenä: minkälaiset järjestelyt sytyttävät sisäisen motivaation?

Matemaattisten tehtävien osalta kursseilla tuntuu usein olevan helpointa (niin opiskelijan kuin opettajankin kannalta) tehdä asiat kuten ne on ennenkin tehty. Toisaalta tuntuu siltä, että usein kaikkein hedelmällisintä kehittämisen kannalta on kurssin opetuksen ja opiskelun miettiminen aivan peruslähtökohdista käsin.

Kiitokset kombinatoriikan kurssista erinomaista työtä tehneelle luennoitsijalle ja laskuharjoitusten pitäjälle!

Loppuun vielä lukuvinkkinä klassikkokirjallisuutta tehtävien kimpussa olemisesta:

  • Polya, G. (1945). How to solve it. (Tämä on juuri äskettäin suomennettu nimellä Ratkaisemisen taito: kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia)
  • Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically.

2 vastausta artikkeliin ”Tehtävien kimpussa

  1. Ulkoinen motivaatio voi helposti syödä sisäistä motivaatiota. Jos houkuttelemme kurssipisteillä tekemään erilaisia tehtäviä, niin vaarana on, että tehtävien tekemisestä tulee itsetarkoitus ja samalla unohdetaan tehtävien todellinen merkitys.
    Jonkinlainen sysäys- tai houkuttelumenettely voi olla kuitenkin toimiva oikeinkäytettynä. En keksi parempaa esimerkkiä, mutta minulle tulee mieleen peruskoulu. Lapset aloittavat Suomessa peruskoulun käynnin halusivat he tai ei. Joidenkin kohdalla koulunkäynti ei tule koskaan nappaamaan, mutta osa kuitenkin myöhemmin jatkaa opintojaan korkeakouluihin asti. Miksi? Tai erityisemmin miksi ihmiset tulevat lukemaan matematiikkaa yliopistoon? Näen tässä prosessissa kaksi eri vaihetta: 1. altistuminen ja 2. valaistuminen.
    Matematiikalle pitää jotenkin ensin altistua ennen kuin siitä voi ylipäätänsä kiinnostua. Peruskoulussa opetetaan matematiikkaa, joten kaikki lapset tulevat altistumaan sille jossain määrin. Altistumisen jälkeen tarvitaan kipinä tai valaistuminen. Jossain vaiheessa elämää lapsi tai nuori kiinnostuu niin paljon matematiikasta, että hän haluaa lukemaan sitä yliopistoon. Kenen ansiota se on? Mistä kipinä syntyy? Kun yhdistetään sopivasti altistumista, niin lapselle tai nuorelle annetaan mahdollisuus kokea itsensä löytäminen. Samaan tapaan erilaisia houkutusmenettelyjä voidaan käyttää kurssiopetuksessa. Kurssin harjoitustehtävien tarkoitus on altistaa erilaisille asioille, jotka parhaimmillaan mahdollistavat valaistumisen.

    • Kiitti kommentista, nostit esiin kaksi aika isoa sivupolkua:

      1. motivaation ja arviointikäytäntöjen suhteen, joka on tosi mielenkiintoinen ja monisyinen (yliopistopedagogiikan tutkimus)kysymys.
      2. matematiikkaan liittyvät tunteet, asenteet ja kokemukset itsestään matematiikan oppijana (koulusta lähtien), jotka ovat niin ikään mielenkiintoisia (tutkimus)kysymyksiä

      En tässä tekstissä sen kummemmin nostanut esiin sitä, miten erilaisia oppimistehtäviä (ja kurssisuorituksia) voisi arvioida ja miten arviointikäytännöt mahdollisesti vaikuttavat motivaatioon. Tai liiemmin sitä, miten innostus matematiikkaan syttyy (tai hiipuu).

      Yhä uudestaan toistuva tutkimustulos tuntuu kuitenkin olevan, että parhaiten oppivat sellaiset opiskelijat, jotka ovat sisäisesti motivoituneita ja joilla on syväsuuntautunut lähestymistapa oppimiseen. Yliopisto- ja korkeakouluopetuksen jonkinlaiseksi kehittämisen peruslähtökohdaksi onkin laajasti otettu konstruktiivisesti linjakas opetus, jossa oppimistavoitteet, opetus (sisältäen erilaiset harjoitustehtävät ja niiden ohjaamisen) ja arviointi ovat keskenään linjassa. Ja vieläpä siten, että kaikki komponentit ohjaisivat opiskelemaan syväsuuntautuneesti ja tukisivat sisäistä motivaatiota: varmasti helpommin sanottu kuin tehty! Ei kuitenkaan opettajana auta muu kuin tutustua tutkimukseen, opettaa, kokeilla ja tutkia. Ja tehdä se yhä uudestaan 🙂

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *