II Matematiikan opetuksen iltapäivä

Toinen Matematiikan opetuksen iltapäivä järjestettiin Otaniemessä tiistaina 19.5. teemanaan opettajien ja opiskelijoiden välinen kommunikaatio. Mukana oli Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksen sekä Aalto-yliopiston matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen väkeä. Iltapäivän ohjelmassa oli viisi lyhyttä alustusta ja niihin liittyvät pienryhmäkeskustelut.

Ensimmäisessä alustuksessa Johanna Rämö kertoi kirjallisesta palautteesta, jota opiskelijat saavat kotitehtävistään kisällioppimisen menetelmällä toteutetuilla kursseilla. Tämän jälkeen Kirsi Peltonen Aalto-yliopistosta puhui Kristallinkukkia peilisaleissa -kurssista ja erityisesti sen yhteydessä toteutetuista reflektioista, joissa opiskelijat pohtivat kurssin asioita ja omaa oppimistaan. Anne-Maria Ernvall-Hytönen puolestaan kertoi projektitöistä, joita hän on teettänyt opiskelijoilla esimerkiksi kryptografian ja lukuteorian kursseilla, ja kokemuksistaan niihin liittyen.

Näiden alustusten jälkeen osallistujat jakautuivat oman kiinnostuksensa mukaan kolmeen ryhmään, joissa keskustelu aiheista jatkui. Muistiinpanoja ryhmien keskusteluista:

Ekat

Tokat

Kahvitauon jälkeen Lotta Oinonen kertoi kisällioppimisen menetelmällä toteutettujen kurssien ohjaajien koulutuksesta sekä ohjausperiaatteista, jotka ovat syntyneet ohjaajien ja opettajien yhteisissä keskusteluissa. Viimeisessä alustuksessa Pertti Palo pohdiskeli, miten opettaa matematiikkaa opiskelijoille, joilla on lähtökohtaisesti negatiivinen kuva omista kyvyistään oppia matematiikkaa, mutta jotka kuitenkin tarvitsevat matemaattisia työkaluja oman alansa ongelmien ratkaisemiseen.

Keskustelu jatkui pienemmissä ryhmissä ja iltapäivän päätteksi kaikista ryhmäkeskusteluista esiteltiin yhteenvedot.

Kiitokset kaikille osallistujille sekä Aalto-yliopiston puolella järjestelyistä vastanneille Riikka Kangaslammelle ja Harri Varpaselle onnistuneesta iltapäivästä!

Passion, Love, Math

“To play without passion is inexcusable.” –L. V. Beethoven

 

Cultivating my Mathematical Garden

I love math. It lights my day, opens my mind, brings me to bliss, gives meaning to my life like nothing else I have experienced. It challenges me like a good sport. It surprises me like a new twist in the plot of a detective story. It allows me to express myself like a poet distilling the essence of reality. I cannot get enough of it.

Our romance did not come easily, however. Definitely it was not love at first sight. Initially I treated this babe only as a tool for physics (my first love), or as a fun way to challenge myself and get cheap validation from being able to solve problems. Then I started breaking up with physics – mostly I had issues with the way it was taught – and found I enjoyed spending time more with math courses than physics courses.

That’s, of course, when I began falling for math, but at first I did it for all the wrong reasons: I was bored with physics. I felt I was better at math. The credits came easier. I could juggle more courses. I was good at puzzles. It made me feel clever… such embarrassingly immature reasons. None of them provide the healthy foundations of a strong relationship. I defined myself by the exercises solved, by the courses accomplished, by the grades gained. And the better I did, the deeper I sank into my illusion of knowledge. I thought I loved math, but in reality I was graving for acceptance. I was at the mercy of these superficial indicators, and speeding so fast I had no time to question their justification.

But the true tragedy here was this: no one—be it fellow student, lecturer, lecture material, no one—warned me about this knowledge-illusion, or clearly encouraged to look for a ‘’deeper understanding’’. If anything, I had absorbed the attitude, that a respectable mathematician should steer clear off such vague musings. In fact, I think I did not even realize there existed a higher level of mastery to aspire for. Now, I know some people trust that these profound aspects are somehow ‘’implied’’ in the standard stuff and the meanings transpire to the ‘’talented’’ ones. I don’t care to argue about the elitism of such unfinished defense, but I deeply regret to say that most of the really important insights simply do not ‘’transpire’’ even to the best of students. That is a fact. We’ll come back to this fatal fallacy after I finish my little story.

So I was speeding and about to crash, hopefully before it was too late. How did I save myself? Books. Self-study. Learning to love the math, not the scores. I was lucky, and it was not easy. This is how I re-emerged: I remember being, once again, frustrated about the course material, you know the lecture notes and the scarcity of motivation, so I sought for a good book in Amazon.com. And damn… those bibles of knowledge, those gems of wisdom, those thick, beautiful, respectable monographs. Many of them had stellar peer reviews: ’’A must-have for any aspiring analyst…’’, ‘’The best math book ever written…’’ etc. Immediately I felt I had been seriously missing out and there is a new level of skill to be reached (although at this point my idea of ‘’skill’’ was saddeningly superficial). I was thinking: ‘’Why have I been wasting my time with some last-minute put-together lecture notes when there are such dime pieces of art to be found!’’ So, I dived into literature head on—the best decision I ever made.

At first the reality hit in hard. It was impossible to keep up juggling multiple courses while studying from the fat books instead of the slim lecture notes. Not because the books were more difficult. On the contrary, as the reviews promised, they were awesome compared to most notes. But most notes are compiled together from two or three books and have conventions of their own, and that makes it two to three times more difficult to complete the course self-studying even the best book around, as compared to just cramming trough the course with the provided minimal material.  As a side point, if you, like me, think we should encourage students to read literature, this is something to think about.

So, I had to give up chasing credits and courses. I could no longer draw my pathetic validation from superficial pursuits. It was either the ‘’dirty high’’ by performance or the superior leaning by books; and the right choice was painfully clear. Credit-hunting, multiple courses, and lecture notes went out the god damn door—one of the toughest decisions I ever made.

This all implied I had to build my value system anew, on the most solid ground possible: genuine love for math itself. I could afford no illusions anymore: credits were for fakers and the only thing that matters, the only thing, is math itself: how well I understand it and how beautiful I find it. There was no one to observe my process, so I had to be brutally honest about my skills. At first this was hard because of the uncertainties, self-doubts, and lack of feedback. So hard, in fact, that I really feel sorry for anyone who has to go through it alone… unless you’re a hermit, in which case it’ll be a blast. Most people, though, are not. Then again most never even learn about this option.

And so I finally learned to truly love math for its own sake. As time goes by our relationship is only becoming more interesting. Alas, it has nothing to do with being able to solve more advanced problems or collecting more theorems under my belt. No, the reason I love math more by the day is I can appreciate its beauty more purely and feel its meaning ever more strongly. Like a piano player, the more refined you become, the better you can cherish the nuances—your enjoyment has nothing, no-thing, to do with some dots on a piece of paper.

Victims of Purity

That is how I transformed from an outcome-oriented mathematician to almost purely aesthetics-oriented mathematician. I am not saying everyone should go crazy with this ‘’meta-math’’ hype, but for me it was (and is) the only way. Unfortunately, awesome as it is, it certainly hasn’t made my academic survival any easier; indeed, it would be much more efficient, in the short run, to ditch the ‘’deepeties’’ and acquire the ‘’just do it’’-attitude. I cannot do it, however. If you can, fine, but keep in mind that there at least exist other levels you should eventually aim for, if you want to excel that is. But, most importantly, never forget that there are other individuals who simply cannot survive without deeper meaning to their studies. They are precious innovators enriching our scientific idea-pool. For their sake, learn to generate motivation and provide inspiration beyond the details, the puzzles, the credits.

The reason why I am telling my story is to convince you that we must actively encourage students to seek for the beauty and beware of the temptation to ‘’just perform and pass tests’’. Do NOT make the mistake of counting on students’ ability to avoid these pitfalls on their own. It is a terrible miscalculation. The reality is that even most successful students often don’t have a clue about the true depth of the mathematical theories.  This problem is so devious because it goes largely under the radar. Traditional exams and grading systems do very little to measure this dimension of learning. And the crazy thing is, that you can easily perform perfectly on those canonical examinations without cultivating any deep understanding.

How big a problem is this? Sure, some of the students simply enjoy solving puzzles and they are fine with the current system. Then there are those who are very persistent and goal driven; they might go to ‘’perform-mode’’ and become speed blind (this was me—the mindless racehorse).  Usually these individuals do admirably on the traditional scales, at least up to the point when the reality kicks in.  Meanwhile, however, I think most students are just withering away, coping with the curriculum. And the saddest news is this: especially the rare gems of individuals who express, at the same time, both passionate curiosity and critical thinking—the very characteristics of a scientist—are going to have it depressingly, crushingly hard. They usually—more often than not, I’m afraid—lose interest, even though they might score high on tests. This presents a huge, MASSIVE, problem for mathematics: some of our very best students become casualties of education: we’re starving our offspring, and we don’t even realize it.

Plant the Seeds

Love is never easy. First you seek for it, or at least be open to it, and then you work for it. Above all, you must learn how to share it. That is why I also love teaching math. Just like I could not enjoy life without being able to love, I cannot enjoy math without being able to share it, teach it.

And we need to teach the students to love math for its own sake. If we only teach technical skills we drive away the most passionate individuals, and those that survive are doomed to remain disabled to communicate math with radiating love. I could not care much less about the technical skillset, neither my own nor my students. That is not the essence of mathematics, not the true form of understanding. Yes, one must know how to play an instrument a bit before delivering a musical masterpiece; or know how to read before opening a book on poems, but if you want to inspire greatness, you must provide the experience of joy. You must plant the seed of knowledge: wonder.

It is, therefore, not enough to present the proofs and details to the students and hope that they somehow know how to dig into the deeper message; that they automatically draw passion out of the deltas and epsilons. My experience with students of all skill levels tells me it just won’t work like that: the development of passion and intuition requires, initially at least, a clear view from the right vantage point and a good injection of passionate interpretation. Each student, of course, is different and ideally one should leave room for an individual discovery, but if you only hand out the details you’re leaving it to the chance—no, you’re fooling yourself and letting your students down. I’ve said it before, I say it again: Every passing day promising students are unnecessarily losing their interest and bitterly giving up math. And for no better reason that no-one has ever showed them how things could be, lifted off the veil of obscuring details, inspired them with fulfilling joy. Finally, again and again it seems to be the case that the more passionate you already are, the more difficult it becomes to survive here. The situation is maddeningly messed up. Even if one manages to develop a hunger for the divine food that is the beauty of mathematics, one receives no help in gathering it; the very first step in the path to passion is loaded with hardships. Eventually, then, one either withers away or, maybe even worse, forgets the hunger and settles for coping with unnourishing food.

Matematiikan opetuksen iltapäivä

Marraskuun lopulla Kumpulassa järjestettiin ensimmäinen Matematiikan opetuksen iltapäivä, johon kutsuttiin opettajia ja opetuksesta kiinnostuneita sekä Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitokselta että Aalto-yliopistosta Otaniemestä. Iltapäivän tavoitteena oli jakaa hyväksi havaittuja käytäntöjä ja uusia ideoita osallistujien kesken sekä edistää yhteistyötä yliopistojemme välillä.

Tapahtuman aluksi järjestäjien edustajat Harri Varpanen Aalto-yliopistosta ja Johanna Rämö Helsingin yliopistosta kertoivat kandivaiheen matematiikan opetuksesta Otaniemessä ja Kumpulassa. Otaniemessä suuri osa kandivaiheen matematiikan opetuksesta on palveluopetusta, jonka tavoitteena on varmistaa tuleville diplomi-insinööreille heidän muissa opinnoissaan tarvitsemansa matematiikan taidot. Kumpulassa kandivaiheen matematiikan opinnot on puolestaan suunniteltu ensisijaisesti matematiikan pääaineopiskelijoilta varten. Lähtökohdat opetukselle ovat siis melko erilaiset ja osa haasteistakin poikkeaa sen vuoksi toisistaan: esimerkiksi Kumpulassa ongelmana on ohjaajien löytäminen kaikille kandintyötä tekeville opiskelijoille, kun taas Otaniemessä ohjattavista on jopa pulaa.

Kahvitauon jälkeen alkoi iltapäivän toiminnallinen osuus, kun osallistujat jakaantuivat ryhmiin. Kukin ryhmä sai oman pöydän ja keskustelunaiheen, joita oli yhteensä kuusi: luennot, laskuharjoitustilaisuudet, opetusympäristöt, arviointi, tutkielmat ja teknologia. Lyhyen tutustumisen jälkeen ryhmät keskustelivat oman pöytänsä aiheesta ja kirjasivat muistiin esiin nousseita ideoita ja kysymyksiä. Tämän jälkeen aihetta ja pöytää vaihdettiin ohjeiden mukaan niin, että seuraavat keskustelut käytiin aina uudessa ryhmässä. Näin kaikki pääsivät jakamaan ajatuksiaan ja tutustumaan uusiin ihmisiin.

lakanaLuennotPieni

Ryhmissä käydyistä keskusteluista nousi esiin joitakin molemmissa yliopistoissa ajankohtaiseksi koettuja teemoja. Opiskelijoiden omaa tekemistä painotettiin sekä luentojen että laskuharjoitustilaisuuksien yhteydessä. Luentoja onkin muutettu toiminnallisemmiksi esimerkiksi luentotehtävien, porinaryhmien ja Presemolla tai Socrativella toteutettujen luentoäänestysten avulla. Laskuharjoituksissa pienryhmissä työskentely antaa kaikille opiskelijoille mahdollisuuden päästä puhumaan ja tekemään. Kotitehtävien tarkastus voidaan esimerkiksi tehdä vertaistarkastuksena harjoituksen ohjaajan antamien kriteerien mukaan. Myös arvioinnissa kehityksen suuntana tuntui olevan jatkuva arviointi, jossa painotetaan yhä enemmän opiskelijan työskentelyä kurssin aikana.

lakanaTeknologiaPieni

Matematiikasta keskustelu ja siihen kannustaminen nähtiin tärkeäksi monessa yhteydessä. Luennoilla keskustelutaitoja voi harjoitella luentotehtävien yhteydessä esimerkiksi pareittain, jolloin opitaan sosiaalisia taitoja, matematiikan puhumista ja saadaan kavereita. Laskuharjoitustilaisuudet tarjoavat oivan tilaisuuden kommunikointi- ja esiintymistaitojen harjoitteluun pienissä ryhmissä. Presemon tai Moodlen avulla keskustelusta voi tehdä ajasta ja paikasta riippumatonta. Liitutaulujen ja tussipöytien lisääminen helpottaa sekin ideoiden jakamista.

lakanaArviointiPieni

Opiskelijan tukeminen opiskelussa tuli keskusteluissa esiin monin eri tavoin. Esimerkiksi tutkielmaa tehdessään opiskelija on helposti epävarma, kokee ohjaustilanteen arvostelutilanteena ja saattaa jopa pelätä ohjaajan tapaamista, mikä pitää ottaa huomioon. Hyvän ohjauksen tuntomerkkeinä nähtiinkin kannustavuus ja säännöllisyys; lisäksi opiskelijalle olisi hyvä asettaa sopivia välitavoitteita. Oppimisympäristön pitäisi olla sopivan rento eikä esimerkiksi laskuharjoituksiin menemistä pitäisi joutua pelkäämään.

Hyväntuulinen, keskusteluun ja yhteistyöhön innostava tunnelma teki Matematiikan opetuksen iltapäivästä onnistuneen. Suosittelemme lämpimästi vastaavien tapahtumien järjestämistä ja kiitämme kaikkia mukana olleita!

Maths bazaar – Creating new kinds of learning spaces

These pictures are taken in the main corridor of the Department of Mathematics and Statistics in the University of Helsinki. They show how learning and teaching does not have to happen in a classroom or lecture hall.

The main corridor of our department is filled with tables, so that the students can work there. Everything is close: student common room, school office, classrooms.

ohjausAnnaleenaThe corridor has become a huge drop-in class where students can spend as much time as they want. The teaching assistants, who are either senior students or members of the teaching staff, provide help 8-10 hours per day. They walk around the tables wearing colourful vests, so that the students can easily approach them.

The teaching assistants are not supposed to give answers but lead the students subtly towards a solution and help them improve their studying skills. As this kind of teaching is new to many of the teaching assistants, training is provided for them.

kaytavaThe tables are arranged into groups to encourage student collaboration. For the same reason the tables have been turned into whiteboards. This way it is also easier for the teachers to talk with the students about the problems they are tackling with.

poytaanPiirtaminenThe walls are covered with blackboards for the students to share their thoughts with each other. Also the researchers and professors use the blackboards in sketching their ideas.

liitutaulu

Some time ago a student suggested that we bought gym balls for the students to sit on. They are more comfortable and ergonomic than normal chairs. We thought that it was a very good idea, and bought the balls. Here you can see the head of our department testing them.

pallotThe corridor is a real maths bazaar: it is full of students working together and having enthusiastic conversations about mathematics. The more tables we bring to the corridor, the more students come to study there. They hang around there on their spare time too, playing games and chatting with their friends. All this has had a huge impact on the atmosphere of our department.

yhteistyota

Pictures: Veikko Somerpuro

Opettamisesta oppimiseen

Tänä päivänä koulutusta ajatellaan yhä enemmän opiskelijalähtöisesti. Muutos voidaan nähdä sekä vallitsevassa oppimiskäsityksessä että käytännön opetustyössä. Nykyiset oppimiskäsitykset johdattavat huomion siitä, mitä opettaja tekee, siihen mitä opiskelija tekee. Toisaalta myös käytännössä todella monet opettajat ovat kokeneet, että vaikka esittävällä opetuksella asioiden käsittely on tiivistä ja ”taloudellista”, oppijat eivät suurinta osaa esitetystä asiasta enää myöhemmin muista. Tarvitaan jotakin parempaa.

Käytännön tasolla opettajat ovat tehneet erilaisia ratkaisuja välttääkseen ns. läpikäymisen pedagogiikkaa. Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksella (ja sitä ennen tietojenkäsittelytieteen laitoksella) on kehitetty tässäkin blogissa esiteltyä kisälliopetusta (tai pikemminkin kisällioppimista). Martinlaakson lukiosta on lähtenyt leviämään yksilöllisen oppimisen opetusmalli. Yhä useammat toteuttavat käänteistä opetusta (flipped classroom), jotkut taas projektioppimista. Mielekkäiden työtapojen etsiminen on ollut opettajan ”perustutkimusta” iät ja ajat, mutta nykyaikana tuntuvat korostuvan erityisesti oppijan aktiivinen rooli, teknologian hyödyntäminen ja yhteistoiminnallisuus.

Monessa yhteydessä on mainittu, että opettajuus on muutoksessa: opettajan rooli on tietysti erilainen opiskelijalähtöisimmissä opetuksen toteuttamistavoissa. Jossakin keskustelussa huomasin yhden keskustelijan — taisi olla jopa opetuksen tutkija — tekevän kovasti eroa opetuksen ja ohjaamisen välillä. Sanalla ”opetus” on usein vahva opettajakeskeisyyden kaiku (mieti sanaa ”opetus” virkkeessä ”kyllä opettajan pitäisi tunnilla opettaa ja käydä kaikki asiat läpi, jotta me ne sitten osataan”). Tuon keskustelun jälkeen mietimme opettajakollegani kanssa samaa kuin mitä olen kuullut monilta muiltakin opettajilta: “ohjaaminen” on opettamista parhaimmillaan, kun opettaja esimerkiksi selittää vain sen verran että saa lopulta oppijan itsensä selittämään. (Määritelmät ovat ihmistieteissä hankalia, mutta voisiko opettaminen olla esimerkiksi mitä tahansa intentionaalista toimintaa, missä pyritään siihen, että joku toinen oppii…)

Minulla on ilo päästä pilotoimaan loppusyksystä 2014 matematiikan ja tilastotieteen laitoksella aineenopettajaopiskelijoille suunnattua kurssia, jossa on tarkoitus tarkastella yliopistomatematiikkaa aineenopettajan näkökulmasta. Tällaiselle kurssille on vaikuttanut olevan tilausta, sillä abstraktin (tiede)matematiikan opiskelun merkitys omalle ammattitaidolle saattaa jäädä opettajaopiskelijalle opintojen aikana vähälle pohdinnalle. Kurssilla sisältöä ohjaa matemaattiseen ajatteluun liittyvä kirjallisuus ja toimintaa taas mm. konstruktiivisen linjakkuuden idea. Opiskelijan toiminta on tälläkin kurssilla keskiössä ja odotan mielenkiinnolla, millaisen kokonaisuuden saamme yhdessä aikaiseksi!

Harjoitustehtävät kisällioppimisessa – esimerkkejä lineaarialgebran kesäkurssilta

Opetin touko-kesäkuussa Helsingin yliopiston Avoimessa yliopistossa kisällioppimisen menetelmää soveltaen kurssin Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. Kisällioppimisessa yhtenä perusajatuksena on tekemällä oppiminen, minkä vuoksi harjoitustehtävien laatimiseen oli kiinnitettävä erityistä huomiota. Kisällioppimisessa harjoitukset pyritään suunnittelemaan niin, että tehtävät

  • kattavat kurssin keskeiset asiat mahdollisimman hyvin
  • ohjaavat opiskelijan selvittämään asioita itse kurssimateriaalin avulla
  • kiinnittävät opiskelijan huomion oppimisen kannalta oleellisiin seikkoihin
  • mahdollistavat opiskelijan oman oivalluksen
  • ovat asteittain vaikeutuvia
  • sisältävät sopivasti kertausta.

Lisätietoa kisällioppimisesta löytyy blogikirjoituksesta “Kisällioppiminen“.

Katsaus harjoitustehtäviin

Alla esiteltävät harjoitustehtävät eivät syntyneet tyhjästä tälle kesäkurssille, vaan ne ja niiden johdatteleva tyyli perustuvat aikaisempien kurssitoteutusten tehtäviin, jotka sain käyttööni Jokke Häsältä ja Johanna Rämöltä.

Harjoitus 1

Kurssin ensimmäinen tehtävä ohjasi opiskelijat heti kurssimateriaalin pariin. Ajatuksena oli, että opiskelijat pääsevät itse tekemään niitä asioita, joista kurssimateriaalissa puhutaan. Osalle kurssin opiskelijoista tehtävä oli helposti lähestyttävä lämmittelytehtävä; toisille opiskelijoille hyvinkin tarpeellista kertausta muun muassa koordinaatiston piirtämisestä ja pisteen merkitsemisestä koordinaatistoon.

h1t1

Lineaarikombinaation käsitteeseen liittyvä vektorien virittämän aliavaruuden käsite on monille opiskelijoille opintojen alkuvaiheessa haasteellinen. Tämän vuoksi näiden käsitteiden pohjustaminen aloitettiin heti ensimmäisessä harjoituksessa. Alla näkyvän tehtävän 7 b-kohta sai monet palaamaan lineaarikombinaation määritelmään ja toimi mainiosti kysymysten herättäjänä.

h1t6-7

Ensimmäisen harjoituksen lopussa pohjustettiin vektorien virittämän aliavaruuden käsitettä yhdistämällä lineaarikombinaation käsite span-merkintään:

h1t18-19

Harjoitus 2

Tehtävässä 1 kerrattiin lineaarikombinaation käsitettä ja harjoiteltiin määritelmän käyttöä:

h2t1

Tehtävissä 5 ja 6 harjoiteltiin span-merkintää yksinkertaisissa, konkreettisissa tilanteissa:

h2t5

h2t6

Tehtävässä 9 opeteltiin etsimään aliavaruudelle virittäjävektorit tietynlaisessa tilanteessa. Tätä taitoa tarvittiin myöhemmin vaativampien tehtävien yhteydessä.

h2t9

Harjoitus 3

Vektorien virittämän aliavaruuden käsitettä, siihen liittyviä merkintöjä ja geometrisia näkökulmia kerrattiin tehtävässä 1:

h3t1

Tehtävissä 8-10 lineaarikombinaation ja virittämisen käsitteitä tarvittiin kannan käsitteen opiskelun yhteydessä:

h3ts3

Harjoitus 4

Tehtävissä 5 ja 7 virittäminen ja lineaarikombinaatiot esiintyvät kannan ja koordinaattien opiskelun yhteydessä. Tehtävä 6 on abstraktimpi vektorien virittämään aliavaruuteen liittyvä tehtävä. Näissä tehtävissä tarvittavia taitoja oli jo harjoiteltu edellisillä viikoilla, mikä auttoi opiskelijoita pääsemään niissä alkuun. Toisaalta opiskelijat saivat näissä tehtävissä kerrata aikaisemmin opiskelemiaan asioita ja soveltaa niitä laajemmissa kokonaisuuksissa.

h4ts2

Kurssin osallistujat ja rakenne

Kurssille ilmoittautui 132 opiskelijaa. Heistä suurin osa oli Helsingin yliopiston perustutkinto-opiskelijoita, jotka lukivat matematiikkaa sivuaineenaan. Kurssi kesti viisi viikkoa ja siihen kuului viisi harjoitustehtäväkokoelmaa, joissa kussakin oli 15-19 tehtävää. Opiskelijat palauttivat tekemiensä tehtävien ratkaisut viikoittain kirjallisesti, mutta niitä ei tarkastettu. Harjoituksia teki kurssin aikana 97 opiskelijaa.

Luentoja oli yhteensä 24 tuntia, 2-3 kertaa viikossa kaksi tuntia kerrallaan. Lisäksi kurssiin kuului 17 harjoitustuntia, joiden aikana opiskelijat saivat tehdä tehtäviä omassa tahdissaan itsenäisesti tai toistensa kanssa. Paikalla olevilta ohjaajilta oli tällöin mahdollista kysyä neuvoa. Harjoitustunneille osallistui kurssin aikana 50 eri opiskelijaa, joista osa oli paikalla lähes joka kerta ja osa silloin tällöin. Kurssilla oli vastuuopettajan lisäksi yksi harjoitusohjaaja.

Kurssikokeeseen ja kahteen uusintakokeeseen osallistui yhteensä 81 eri opiskelijaa, joista 74 sai kurssin suoritettua. Kurssin sisällöstä ja käytännöistä löytyy lisätietoa kurssin sivulta.

Aktiivisempia luentoja

Kirjoittaneet Jokke Häsä ja Johanna Rämö.

Miten opiskelijat saisi pidettyä hereillä luennoilla? Mistä tietää, pysyvätkö kuulijat kärryillä?

Olemme yrittäneet ratkoa näitä ongelmia muun muassa kokeilemalla erilaisia reaaliaikaisia luentopalautejärjestelmiä. Perinteisesti reaaliaikainen luentopalaute on toteutettu ns. klikkereillä, pienillä kaukosäätimen tapaisilla laitteilla, jotka jaetaan opiskelijoille ja joiden avulla he voivat äänestää oman vastauksensa luennoitsijan asettamiin kysymyksiin. Klikkereitä voi käyttää sekä testaamaan opiskelijoiden osaamistasoa että keräämään palautetta luennon edistymisestä.

Klikkereitä on kuitenkin harvoin tarjolla kaikille erityisesti suurilla massaluennoilla. Nykyisin on tarjolla erilaisia nettipohjaisia äänestysjärjestelmiä, joita on lueteltu muun muassa Aalto-yliopiston VipuPiste-blogissa. Opiskelijat voivat äänestää älypuhelimilla tai kannettavilla, ja opettaja saa tulokset netin välityksellä omalle koneelleen. Kaikilla ei välttämättä ole tarvittavaa laitetta mukanaan, mutta yleensä laitteita on yhteensä salissa niin paljon, että opiskelijat voi pyytää vastaamaan 2-4 hengen ryhmissä.

Kokemuksemme mukaan luennoitsijan ei kannata pitää opiskelijoiden äänestystuloksia omana tietonaan, vaan heijastaa ne kootusti kaikkien nähtäville. Tällä tavoin opiskelijat säilyttävät itsekin tuntuman koko ryhmän tasosta. Useinhan on niin, että yksittäinen opiskelija ei uskalla esittää “tyhmää kysymystään” kaikkien kuullen, vaikka tosiasiassa sama kysymys on mielessä useammallakin, joskus jopa suurimmalla osalla. Äänestystulosten näkeminen – varsinkin jos moni on erehtynyt oikeasta vastauksesta – saattaa tällä tavoin madaltaa opiskelijan kynnystä esittää omia kysymyksiä.

Luentoäänestyksiä voi käyttää eri tarkoituksiin:

  • Keskustelun herättämiseksi
  • Yleisen harhakäsityksen esiin tuomiseksi
  • Opiskelijoiden oman ajattelun aktivoimiseksi
  • Rytminvaihdokseksi pitkälle luennolle

Yleensä äänestykset tukevat useita näistä tavoitteista yhtäaikaisesti. Palautejärjestelmiä on myös käytetty järjestelmällisesti jonkin tietyn opetusmenetelmän toteuttamiseen. Jyväskylän yliopiston fysiikan laitoksella Pekka Koskinen on käyttänyt luentoäänestyksiä toteuttaakseen Eric Mazurin Peer Instruction -tyyppistä opetusmenetelmää (Koskinen esitteli kokemuksiaan Arkhimedes-lehden numerossa 3/2012). Peer Instruction -metodissa opiskelijat vastaavat ensin luennoitsijan esittämään kysymykseen ja heille näytetään äänestyksen tulos. Sen jälkeen heidän annetaan keskustella toistensa kanssa ja äänestää uudestaan. Tällä tavoin opiskelijat saadaan itse korjaamaan omia alkuperäisiä käsityksiään vuorovaikutuksessa toisten kanssa

Luentopalautejärjestelmiä on myös mahdollista käyttää opiskelijoiden kysymysten ja kommenttien keräämiseen. Palautekanavan voi jättää auki luennon ajaksi, jolloin opiskelijat pystyvät sen kautta kysymään luennolla heräävät kysymyksensä.

Suurin haaste luentoäänestyksissä on hyvien kysymysten keksiminen. (Tuntuu siltä, että matematiikassa tämä on jotenkin erityisen hankalaa.) Oikea vastaus ei saa olla ilmiselvä, sillä muuten äänestämisessä ei ole mieltä. Monesti parhaat kysymykset ovat sellaisia, joihin ei edes ole yhtä ja ainoaa oikeaa vastausta. Silloin niistä syntyy mielenkiintoisia keskusteluja. Myös harkittu epämääräisyys kysymyksenasettelussa voi olla hyödyksi.

Alla on joitakin esimerkkejä käyttämistämme luentokysymyksistä. Kaksi ensimmäistä ovat perinteisempiä kysymyksiä, joista ensimmäisen on tarkoitus treenata kuvaajan tulkintaa ja jälkimmäisen lineaarialgebrassa esiintyvän “vapauden” käsitettä. Kumpikaan kysymys ei kuitenkaan ole aivan suoraviivainen, vaan opiskelijan on syvennyttävä kuhunkin vastausvaihtoehtoon.
Esimerkki luentokysymyksestä (kuvaaja)Esimerkki luentokysymyksestä (vapaus)Seuraavat esimerkit ovat soveltavampia. Ensimmäisessä opiskelijan on mietittävä, mitä ominaisuuksia on hyvällä matemaattisella määritelmällä. Yhtä ainoaa oikeaa vastausta ei ole, vaan vastausvaihtoehdoista voidaan keskustella.Esimerkki luentokysymyksestä (isomorfismi)Viimeisessä esimerkissä annetaan opiskelijan assosioida vapaasti.
Esimerkki luentokysymyksestä (joukko)Kurssipalautteessa opiskelijoiden suhtautuminen on ollut enimmäkseen myönteistä. Esimerkiksi Avoimen yliopiston lineaarialgebran kurssilla kysymykseen “Kuinka hyvin luentokysymykset tukivat oppimista?” keskiarvo 25 vastanneen kesken asteikolla 1-5 oli 3,84. Vapaista kommenteista suurin osa oli myönteisiä: erityisesti kysymykset saivat opiskelijat pysymään hereillä ja keskittyneinä, ja kysymyksiä seurannut oikean vastauksen analyysi koettiin opettavaiseksi. Osa ei kuitenkaan kokenut saavansa kysymyksistä mitään irti, ja niiden pohtimiseen käytettiin heidän mielestään liian paljon aikaa.

Emme suinkaan ole vielä luentoäänestysten asiantuntijoita ja aina välillä jopa epäilemme niiden mielekkyyttä. Epäröintiä on lisännyt se, että opiskelijoiden vastausaktiivisuus vähentyy melko radikaalisti kurssin edetessä. Osittain kyse on siitä, että tutustuttuaan toisiinsa opiskelijat ryhtyvät äänestämään entistä enemmän ryhmissä, ja siksi annettujen äänten määrä vähenee. Toisaalta asiaan tuntuu liittyvän uutuudenviehätyksen katoaminen, jonka jälkeen äänestyksestä ei enää innostuta.

Mielestämme opiskelijoiden aktivointi ja omaan ajatteluun kannustaminen on luennolla joka tapauksessa tärkeää, ja sähköiset äänestykset tarjoavat siihen yhden kätevän keinon.

“Aktivointikysymykset pitivät luennolla hereillä. Jos kysymyksiä ei esitetä, luennolla vaipuu koomaan. Näin käy joka kurssilla missä luennolla ei kysytä juuri mitään.”

Todistushattu

Kirjoittaneet Lotta Oinonen ja Johanna Rämö

Tutustuimme opintopiirissämme Tommy Dreyfusin artikkeliin Why Johnny Can’t Prove. Siinä kerrotaan, kuinka yliopistossa aloittavien matematiikan opiskelijoiden on vaikea nähdä eroa erilaisten matemaattisten perustelujen välillä.

Usein opettajat ja kurssikirjat käyttävät asioiden perustelemiseen sekä täsmällisiä todistuksia että epämuodollisempia, intuitioon tai kuviin vetoavia selityksiä. Molempia tarvitaan ja kokeneelle matemaatikolle on selvää, mistä on kulloinkin kyse. Opiskelijat sen sijaan saattavat hämmentyä asiasta, eikä heille muodostu selkeää kuvaa siitä, mitä todistamisella tarkoitetaan.

hattu6

Meille syntyikin idea todistushatusta, jonka avulla eritasoisten perustelujen eroa voi tehdä näkyvämmäksi. Luennoitsija käyttää hattua aina silloin, kun hän kirjoittaa täsmällisen perustelun jollekin väitteelle. Silloin, kun aiheesta puhutaan epämuodollisemmin, hattua ei käytetä.

Selvästikin todistushattu saa opiskelijat kiinnittämään huomiota perustelun eri tasoihin, sillä he huomauttavat hatun puuttumisesta, jos luennoitsija unohtaa laittaa sen päähänsä todistuksen alkaessa. Ja vähintääkin hattu herättää hyväntuulisuutta ja hupia luennoilla.

Johannax2

 

Piirretään pöytiin!

Saimme tällä viikolla uudet pinnat pöytiimme. Nyt pöytään piirtäminen on entistä helpompaa!

Olemme  kirjotelleet pöytiin jo reilun parin vuoden ajan. Niin opiskelijoiden kuin opettajienkin on paljon helpompi selittää ajatuksiaan, kun samalla voi piirtää pöytään kuvia ja kaavoja. Pöydät kannustavat yhteistyöhön ja vuorovaikutukseen.

kaytava_pieni

Kokeilu alkoi pleksilevyillä. Pöydän päälle laitettu akryylilevy muuttaa pöydän tussitauluksi, johon voi piirtää taulutusseilla. Levyt ovat edullisia, ja lisäksi läpinäkyvän levyn alle on kätevä laittaa esimerkiksi koordinaatistoruudukko. Ongelmana on kuitenkin se, että tussinjäljet tuppaavat jumahtamaan kiinni pleksilevyn pintaan ja niitä saa välillä hinkkailla melkoisella antaumuksella.

Seuraava askel oli pöydän päälle laitettava valkotaulu. Teetimme tauluja, jotka ovat juuri sen kokoisia, että kun taulun laittaa pöydän päälle, taulun reunat pitävät levyn paikoillaan. Tauluja on helppo pyyhkiä, mutta kuminpurut ja muut roskat kertyvät hieman sotkuisesti reunan väliin. Lisäksi taulun kulmat eivät kestä niihin osuvia kolhuja, ja kulmista putoilee osia.

Nyt hankitut uudet pöytälevyt ovat myös valkotauluja, mutta niissä ei ole enää erillistä reunusta. Taulut kiinnitettiin pöytiin kaksipuoleisella teipillä. Levyt ovat tosin niin painavia, että ne olisivat pysyneet paikoillaan varmaan vähemmälläkin (esim. liukuestematolla).

Hyvin toimii!

poikaPiirtaa

 

Kisällioppiminen

Kirjoittajina Johanna Rämö ja Thomas Vikberg

Olemme parin viime vuoden aikana yrittäneet muuttaa matematiikan kursseja vastaamaan paremmin opiskelijoiden tulevaa arkea. Matematiikka työkseen tekevät eivät istu joka päivä tuntitolkulla kuuntelemassa matemaattisia esityksiä, vaan he painiskelevat itse matematiikan kanssa. Tämä näkyy myös siinä miten he oppivat uutta matematiikkaa, tai kuten laitoksemme johtaja totesi syksyllä 2011, “Matematiikkaa ei opi kuuntelemalla eikä lukemalla, vaan ainoastaan tekemällä”.

Olemme tätä varten kehittäneet isoilla LuK-kursseillamme nk. tehostetun kisällioppimisen menetelmää. Menetelmä on alun perin luotu vastaamaan modernin ohjelmistokehityksen opetuksen haasteisiin Helsingin yliopiston tietojenkäsittelytieteen laitoksella (jossa sitä kutsutaan toisinaan pajaopetukseksi). Oman laitoksemme opetuksessa menetelmää on kehitetty matematiikan opetukseen sopivaan muotoon. Tiivistäisimme tehostetun kisällioppimisen kolmeen ideaan:

  1. Opiskelijat ottavat aktiivisen roolin omassa opiskelussaan.
  2. Opiskelijoiden opiskelua tuetaan.
  3. Palaute kulkee opettajan ja opiskelijoiden välillä, jolloin kaikilla on realistinen kuva siitä, mitä opiskelijat osaavat.

Opetuskokeilu ei ole ollut pientä “kokeilua”, vaan kurssit, joita olemme muokanneet, ovat suuria. Esimerkiksi tämän syksyn lineaarialgebran kurssia on aktiivisesti suorittanut 375 opiskelijaa ja keväällä tarkoituksena on järjestää neljä suurta kurssia menetelmää käyttäen. Opiskelijoiden joukossa on tulevia matemaatikoita, soveltavia matemaatikoita, opettajia ja sivuaineilijoita.

Mitä tämä käytännössä tarkoittaa

Vielä pari vuotta sitten, opiskelijat istuivat luennolla kurssista riippuen 4-5 tuntia viikossa. He tekivät laskuharjoitustehtäviä itsekseen, ja istuivat laskuharjoitusten esittelytilaisuudessa kaksi tuntia viikottain saamassa oikeat vastaukset tehtäviin. Kisällioppimisessa opiskelijat tekevät enemmän tehtäviä ja istuvat vähemmän luennolla. Ennen tehtävät liittyivät luentoihin, nykyään luennot liittyvät tehtäviin. Esimerkiksi tänä syksynä opiskelun tahti on näyttänyt tältä:

  1. Kurssin uusi asia esitetään helpohkojen tehtävien avulla, joita opiskelijat saavat tehtäväkseen.
  2. Suoriutuakseen tehtävien ratkaisemisesta, opiskelijan on luettava kurssimateriaalia itsekseen, mutta halutessaan hän saa opettavalta tiimiltä yksilöllistä ohjausta.
  3. Kun opiskelijat ovat työstäneet uutta asiaa ratkomalla siihen liittyviä tehtäviä, asiaa käsitellään luennoilla seuraavalla viikolla.
  4. Samaisella viikolla opiskelijat saavat tehtäväkseen vaikeampia tehtäviä aiheesta, jota käsitellään luennoilla

Opettava tiimi, joka koostuu assareista ja yliopisto-opettajista, ohjaa opiskelijoita heidän tarpeidensa mukaan. Ohjaus on henkilökohtaista, ja jokainen opiskelija saa apua juuri niissä asioissa, jotka ovat hänelle vaikeita. Valmiita vastauksia ei anneta, vaan opiskelijaa ohjataan oivaltamaan asiat itse. Opiskelijat siis ”pakotetaan” opiskelemaan asiat kurssimateriaalista tehtäviä tehden. Kun he ovat tutustuneet uuteen aiheeseen itse ohjaajien avustuksella, aiheesta keskustellaan luennolla. Tässä apuna ovat sähköiset äänestykset, joiden avulla opiskelijat voivat kertoa vastausehdotuksiaan ja mielipiteitään keskusteltuaan ensin vieruskaverinsa kanssa. (Lisätietoa tästä löytyy blogikirjoituksesta ”Täyskäännös”.)

Yksi kisällimenetelmän kulmakivistä on palautteen antaminen ja saaminen. Osa opiskelijoiden kirjallisesti palauttamista tehtävät tarkistetaan viikoittain, jolloin opettava tiimi saa tietää, mitä opiskelijat todella osaavat. Käsityksemme opiskelijoiden osaamisesta on nykyään huomattavasti realistisempi kuin ennen. Opiskelijat puolestaan saavat tehtäviä palauttamalla jatkuvaa palauttetta työstään. He saavat myös korjata ratkaisujaan. Virheistä ei siis rankaista, vaan niistä opitaan. Kisällioppiminen vaatii aivan erilaisia opetustiloja kuin perinteinen opetus, jossa opettaja luennoi edessä ja opiskelijat istuvat riveissä hiljaa kuunnellen. Olemme joutuneet miettimään tilaratkaisut uusiksi, jotta ne tukisivat niin kisälliopetusta kuin muitakin opiskelijalähtöisiä opetusmenetelmiä. (Lisätietoa tästä löytyy blogikirjoituksesta ”Tavoitteena oppimisyhteisö”.)

Vanhaan ei ole paluuta

Nautimme kisällimenetelmällä opettamisesta emmekä halua enää palata vanhaan opetustapaan. Tunnemme todella vaikuttavamme opiskelijoiden oppimiseen ja saamme nähdä onnistumisen elämyksiä päivittäin.