Ensimmäinen kisällimateriaali lukiomatematiikkaan: vektorit

Kokemuksemme mukaan vektoreita käsittelevä kurssi on monille opiskelijoille hankala. Kun ryhdyimme suunnittelemaan kisällioppimiseen soveltuvaa materiaalia, oli tavoitteenamme tehdä tästä kurssista entistä helpommin omaksuttava. Lisäksi halusimme tukea opiskelijoiden omaa ajattelua sekä tuoda esiin matematiikkaan kuuluvaa luovuutta. Seuraavissa kappaleissa kerron hiukan tarkemmin siitä, miten pyrimme toteuttamaan näitä tavoitteita. Materiaalin tämänhetkiseen versioon voit tutustua täällä.

Konkreettisesti koordinaatistossa

Materiaalin ensimmäisessä luvussa vektorit esitellään nuolina tasokoordinaatistossa. Tällä tavalla saadaan yhteys uuden käsitteen eli vektorin ja aiemman tiedon eli koordinaatiston välille. Toinen linkki uuden ja vanhan välillä on kirjaimilla laskeminen. Kun tasovektorit ilmaistaan koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektoreiden i ja j avulla, voidaan niiden yhteen- ja vähennyslasku sekä skalaarilla kertominen tehdä normaalin kirjainlaskennan tapaan.

Koordinaatisto sekä kantavektorit i ja j tuovat vektorin käsitteeseen paljon konkretiaa: vektoreita voidaan havainnollistaa piirtämällä ja niiden ominaisuuksia voidaan päätellä piirrosten avulla, mutta piirrosten tukena voidaan käyttää myös laskuja. Piirtäminen on erityisen tärkeää silloin, kun vektorin käsite on vielä uusi, sillä näin opiskelijoille muodostuu oikeanlaisia mielikuvia siitä, mitä erilaiset vektoreihin liittyvät käsitteet tarkoittavat. Nämä mielikuvat auttavat ongelmien ratkaisemisessa myös myöhemmin, kun tilanteet muuttuvat abstraktimmeiksi.

Lukion oppikirjoissa vektorin käsite on yleensä tapana määritellä suunnan ja suuruuden käsitteiden avulla. Tässä suhteessa materiaalimme siis poikkeaa perinteestä. Vektori on kuitenkin hyvä esimerkki käsitteestä, jonka määritelmä vaihtelee sen mukaan, millä matematiikan tasolla liikutaan. Korkeakoulumatematiikassa vektorit voidaan määritellä aluksi lukupareina, sitten lukukolmikkoina ja (äärellisinä) lukujonoina, myöhemmin abstraktisti minkä tahansa vektoriavaruuden alkioina.

Mainiot mallikuvat

Kun kaikki vektoreihin liittyvät peruskäsitteet ja laskutoimitukset ovat tulleet tutuksi tasokoordinaatistossa, siirrytään materiaalin toisessa luvussa avaruuskoordinaatistoon. Samalla piirtämisessä siirrytään astetta abstraktimmalle tasolle ja aloitetaan mallikuvien piirtämisen harjoittelu. Piirtäminen on siis edelleen tärkeässä roolissa, mutta myös laskennallisten perusteluiden paino kasvaa. Vektorien yhdensuuntaisuuden tutkiminen johtaa yhtälöryhmän ratkaisemiseen. Kahden ja kolmen tuntemattoman yhtälöryhmiä opetellaan ratkaisemaan sijoitusmenetelmällä, ja tätä taitoa käytetään myös vektorin jakamisessa komponentteihin.

Materiaalin loogisesta rakenteesta on pyritty tekemään mahdollisimman selkeä ja matematiikkaa tieteenalana kuvaava. Vihertävällä pohjalla olevat määritelmät ovat sopimuksia siitä, mitä jollakin käsitteellä tarkoitetaan. Harmaalla pohjalla olevat teoreemat puolestaan ovat matemaattisia tosiasioita, jotka voidaan perustella todeksi määritelmien pohjalta. Osa ensimmäisessä luvussa esitellyistä teoreemoista perustellaan luvussa 2, jolloin niiden sisältö on tullut jo tutuksi soveltamisen kautta.

Sovelletaan suoriin, treenataan tasoilla

Materiaalin kolmannessa luvussa pysytellään edelleen kaksi- ja kolmiulotteisissa koordinaatistoissa. Edellisissä luvuissa opittuja asioita päästään nyt hyödyntämään, kun suorien ja tasojen ominaisuuksia tutkitaan vektoreiden avulla. Suoria tarkastellaan ensin tasokoordinaatistossa, jossa havainnollistaminen ja oikeiden mielikuvien luominen tarkkojen kuvien avulla onnistuu. Avaruuskoordinaatiston suorista ja tasoista piirretään mallikuvia.

Matematiikkaan kuuluvaa luovuutta tuodaan materiaalissa esiin tehtävissä, joissa opiskelijat saavat itse keksiä esimerkkejä. Opiskelijoiden omaa ajattelua tuetaan lisäksi tehtävillä, joissa opiskelijaa pyydetään selittämään omin sanoin havaintojaan ja ratkaisutapojaan, sekä tehtävillä, joissa tuloksen järkevyyttä pitää arvioida esimerkiksi piirroksen avulla.

Huomaamaton huipennus

Neljännessä eli viimeisessä luvussa ratkaistaan geometrisia ongelmia ilman koordinaatistoa. Taso- ja avaruuskoordinaatistoissa harjoiteltu vektoreiden laskutoimitusten geometrinen tulkinta on keskeisessä asemassa. Tavoitteena on, että opiskelijoilla on tässä vaiheessa vahva rutiini mallikuvien piirtämiseen, jolloin koordinaatistosta luopumista ei välttämättä edes sen suuremmin huomata.

Kisällioppimisen menetelmässä korostuu opiskelijoiden oma aktiivinen tiedon prosessointi. Materiaalissa tätä tuetaan tehtävillä, jotka nivoutuvat oleelliseksi ja erottamattomaksi osaksi teoriaosuutta. Uudet asiat havainnollistuvat näiden tehtävien kautta pienin askelin. Oman työn ja osaamisen arviointia harjoitellaan jokaisen luvun lopussa itsearvointitestien avulla. Näin opiskelijat saavat jatkuvaa palautetta oppimisestaan paitsi oppituntien aikana ohjaavalta opettajalta, myös tuetun itsearvioinnin kautta.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *