Author Archives: Jani Hannula

Ongelmalähtöistä oppimista matematiikan aineenopettajakoulutuksessa

|

Olen muutaman viime vuoden aikana pitänyt kurssia, jonka otsikkona on ollut “Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”. Kurssin sisällöllisistä ajatuksista voit lukea aiemmasta blogitekstistäni. Kurssilla keskeiseksi työskentelytavaksi on muotoutunut ongelmalähtöinen oppiminen (problem-based learning, PBL) ja sen sukulainen case-oppiminen (case-based learning). Yksi minua kurssin opettajana ja aihetta liipaten väitöskirjaa tekevänä tutkijana kiinnostava kysymys on, miten opettajaopiskelijat kokevat tällaiset työskentelymuodot matematiikan aineenopettajakoulutuksessa. Kerron tässä kirjoituksessa lyhyesti näistä työskentelymuodoista ja nostan esiin muutamia teemoja kursseille osallistuneiden opiskelijoiden kokemuksista työskentelytapojen vahvuuksista ja haasteista.

Ongelmalähtöisen oppimisen juuret ovat lääketieteen opetuksessa; jo 1960- ja 1970-lukujen taitteessa Pohjois-Amerikassa lääketieteelliset tiedekunnat ryhtyivät järjestämään opetusta niin, että opiskelijat ratkoivat koulutuksessaan sellaisia tosielämän ongelmia, joita tulisivat kohtaamaan myös työelämässä. Ajatuksena oli, että tällaisten ongelmien ratkaisemisessa kehittyy substanssiosaamisen lisäksi tärkeät geneeriset taidot kuten tiedonhaku ja ryhmätyöskentely. Ongelmalähtöinen oppiminen pitää sisällään useita lähestymistapoja, mutta tyypillisimmin se etenee niin, että opiskelijaryhmä (esim. 4-6 henkilöä) saa eteensä virikeaineiston, jonka pohjalta he määrittävät tavoitteet itsenäiselle opiskelulleen. Virikeaineistot kuvaavat tyypillisesti jonkin tosielämän ongelman (kuten jokin matematiikkaan ja/tai sen opettamiseen liittyvä haastava kohta), mutta ovat avoimia siinä mielessä, että niitä voi tarkastella ja “ratkoa” useasta eri näkökulmasta. Opiskelijaryhmät kokoavat prosessin aikana aiheeseen liittyvää tietoaan ja lopuksi kerätyistä tiedoista muodostetaan synteesi, joka tyypillisesti myös esitellään muille pienryhmille.

Case-oppimisessa keskitytään ongelmalähtöisen oppimisen tapaan tosielämään liittyviin ongelmiin, mutta prosessi on tyypillisesti lyhyempi: opettaja voi esimerkiksi alustaa aiheeseen liittyvällä teorialla, jolloin virikeaineisto on ikään kuin esimerkki, johon aiemmin käsiteltyä asiaa sovelletaan. Tämä prosessi on myös hieman suljetumpi ja ohjatumpi: opettaja voi halutessaan päättää tarkemmin niistä näkökulmista ja sisällöistä, joita hän ehdottomasti haluaa käsiteltävän. Tällaiseen case-oppimiseen ei tyypillisesti sisälly opiskelijoiden laajaa itsenäistä tiedonhakua, mutta toisaalta tällaisessa työskentelymuodossa on mahdollista ongelmalähtöisen oppimisen tapaan kytkeä substanssi työelämän kontekstiin ja toisaalta keskustella vapaamuotoisesti aiheeseen liittyvistä eri näkökulmista.

Tällaisia lähestymistapoja käytettäessä kurssipalautteessa on toistunut usein samat teemat. Vahvuutena tällaisissa työskentelytavoissa on nähty erityisesti mahdollisuus vapaamuotoiseen keskusteluun, pienryhmässä toimiminen ja oppimisen autonomisuus. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta hyvin nämä yleisemminkin työskentelytavan vahvuuksina koetut puolet:

“Jokainen ryhmä tulkitsi ongelmat eri tavalla, minkä vuoksi monia mielenkiintoisia näkökulmia nousi esille. Työskentely antoi vapaat kädet selvittää asiaa omalla tavalla, mikä lisäsi motivaatiota. Ryhmämme toimi erittäin hyvin yhteen, mikä korostaa tällaisen työskentelyn erinomaisuutta. Keskustelut pienissä ryhmissä olivat todella hyviä!“

Toisaalta ongelmalähtöinen oppiminen on koettu osittain työläänä ja vaikeana. Lisäksi avoimet ongelmat voivat helposti johtaa sellaisten näkökulmien tarkastelulle, jotka eivät ole täysin linjassa kurssin oppimistavoitteiden kanssa. Lisäksi ryhmätyöskentely tuo usein mukanaan ryhmädynamiikkaan liittyviä ongelmia, joille opettajan on minusta tärkeä olla herkkänä. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta todella hyvin näitä yleisesti haastavina koettuja puolia:

“PBL-projektien vapaa kulkusuunta tuo mukanaan riskinsä. Työskentely ei välttämättä kulje kurssin tavoitteiden suuntaan. Lisäksi yksi dominoiva henkilö ryhmässä voi ohjata toistuvasti ryhmän työskentelyä omaa näkemystään mukailevaksi […]”

Opettajan on uskoakseni tällaisessa työskentelyssä mietittävä tarkkaan, miten menetelmän käyttöönottoon totutellaan ja miten itsenäistä tiedonhakua ja ryhmätyötä allakoidaan niin, että kurssin työmäärä pysyy opintopistemäärää vastaavana. Erityisen hankalana kysymyksenä olen kokenut sen, miten säilytetään tasapaino sisäistä motivaatiota lisäävän autonomisuuden ja kurssin linjakkuuden välillä. Lisäksi olen usein miettinyt ryhmädynamiikkaan liittyviä haasteita: nämä voivat jäädä usein opettajalta havaitsematta, mutta olen saanut kuulla niistä kurssin aikana kirjallisten itsearviointien kautta, johon olen pyytänyt kirjoittamaan tarvittaessa myös pienryhmän toimintaan liittyviä havaintoja. Tämän vuoksi tuntuu tärkeältä, että kurssin aikana tapahtuu kaksisuuntaista ja “keskustelevaa” palautetta.

Kaiken kaikkiaan opettajan näkökulmasta tällainen lähestymistapa opetukseen on joka tapauksessa todella antoisa: jokaisella kerralla oppii myös itse todella paljon uutta!

Yliopistomatematiikka, koulumatematiikka ja opettajan tieto

|

Suomalaisen matematiikan aineenopettajakoulutuksen voidaan katsoa sisältävän varsin kattavan paketin matematiikan opintoja, pedagogisia opintoja ja käytännön opetusharjoittelua kouluissa. Toisin sanoen, koulutuksessa kertyy varsin suuri määrä opettajalle tärkeää tietoa. Toisaalta sekä opettajaopiskelijat että työelämässä toimivat matematiikan opettajat saattavat kokea yliopistossa opiskellun matematiikan irrallisena koulussa opetettavasta sisällöstä (esim. Koponen, Asikainen, Viholainen, & Hirvonen, 2015; Yrjänäinen, 2011).

Kiinnostava kysymys onkin, minkälaisen kokonaisuuden otsikon mukainen kolmikko ”yliopistomatematiikka”, ”koulumatematiikka” ja ”opettajan tieto” muodostaa. Lähdetään miettimään asiaa yksinkertaisen esimerkin näkökulmasta. Toisen asteen polynomifunktio esitetään tunnetusti muodossa f(x) = ax2 + bx + c. Lukion matematiikasta tiedetään hyvin, että toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on alas- tai ylöspäin aukeava paraabeli. (Mikä olikaan muuten paraabelin (geometrinen) määritelmä?) Kerroin a määrää tunnetusti sen, aukeaako paraabeli alas- vai ylöspäin. Ajatellaan, että olet matematiikan opettaja ja oppilaasi kysyy, miksi kuvaaja kääntyy kertoimen a mukaan. Miten reagoit?

Mietit ehkä, mikä olisi paras tapa lähestyä kysymystä niin, että vastaus ja mahdollisesti sitä seuraavat pohdinnat edistäisivät oppilaan ymmärrystä. Voidaankin katsoa, että kyse on niin sanotusta pedagogisesta sisältötiedosta; miten lähestyn oppiaineen X sisältöä Y oppimiseen liittyvässä tilanteessa Z. Kuitenkin se, mitä tiesit asiasta ”puhtaan matemaattisessa mielessä” varmastikin vaikutti siihen, minkälaisia lähestymistapoja kehittelit. Teoreettisesti tarkasteltuna niin sanottu matemaattinen sisältötieto nähdäänkin pohjana pedagogiselle sisältötiedolle (esim. Ball, Thames, & Phelps, 2008). Tutkimuksissa onkin havaittu, että opettajaopiskelijan pedagogiset lähestymistavat ovat mielenkiintoisella tavalla kytköksissä matemaattiseen sisältötietoon (esim. Even, Tirosh, & Markovits, 1996).

Palataan vielä hetkeksi toisen asteen polynomifunktioon; asiaa voidaan nimittäin lähestyä varsin monesta suunnasta. Voidaan esimerkiksi miettiä, miten ongelmaa voisi muokata yksinkertaisemmaksi. Miltä näyttävät muotoa x ↦ ax2 olevien funktioiden kuvaajat? Entä muotoa muotoa x ↦ ax2 + c olevat? Esimerkiksi tällaista tehtävänannon muokkaamista Ball kollegoineen (2008) pitää opettajalle matematiikan opettajalle erityisenä sisältötiedon lajina. Toisaalta voidaan miettiä esimerkiksi, mihin laajempaan kontekstiin kyseinen matemaattinen sisältö liittyy: minkälaisista funktioista toisen asteen polynomifunktiot ovat erikoistapaus jne. Opettajan tietoon tuntuukin siis liittyvän sekä matemaattisen sisältötiedon että pedagogisen sisältötiedon osalta vähän kaikenlaista…

Ilmaan saattoi kuitenkin jäädä edelleen leijumaan kysymys siitä, mikä rooli yliopiston matematiikan kursseilla on opettajan tiedolle. Erityisesti lukion matematiikka tuntuu kuitenkin olevan pullollaan kohtia, joita käsitellään tarkemmin yliopiston matematiikan kursseilla. Tällaisia kohtia voi löytää erityisesti analyysiin, vektoreihin, todennäköisyyslaskentaan, tilastolliseen päättelyyn, logiikkaan ja lukualueisiin liittyen. Tällaisia yliopiston ja koulumatematiikan yhteyksiä voikin hyvin pohdiskella joko ”alhaalta ylöspäin” tai ”ylhäältä alaspäin” (ks. Dreher, Lindmeier, & Heinze, 2016).

Pidän II periodissa jälleen aineenopettajaopiskelijoille suunnatun kurssin ”Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”, jolla tartumme joihinkin tällaisiin tapauksiin. Pyrimme siten vahvistamaan yliopiston matematiikan kurssien ja koulumatematiikan välisiä yhteyksiä. Tarkemmat tiedot tämän syksyn kurssista päivittyvät kurssin kotisivulle. Toivotan kaikki asiasta kiinnostuneet tervetulleiksi!

Viitteet:

Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Dreher, A., Lindmeier, A., & Heinze, A. (2016). Conceptualizing professional content knowledge of secondary teachers taking into account the gap between academic and school mathematics. Proceedings of 40th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Hungary. 219-226.

Even, R., Tirosh, D., & Markovits, Z. (1996). Teacher subject matter knowledge and pedagogical content knowledge: Research and development. Proceedings of the 20th PME International Conference, 1, 119-134.

Koponen, M., Asikainen, M., Viholainen, A., & Hirvonen, P. (2015). Matematiikan opettajankoulutuksen arviointipohjainen kehittäminen. LUMAT, 3(6), 925-947.

Yrjänäinen, S. (2011). “Onks meistä tähän?” : Aineenopettajakoulutus ja opettajaopiskelijan toiminnallisen osaamisen palapeli. Tampere: Tampere University Press.

Tehtävien kimpussa

|

Osallistuin touko-kesäkuussa laitoksellamme harvemmin järjestettävälle kombinatoriikan kurssille. Monia kombinatorisia ongelmia pohditaan jo koulumatematiikassa ja erityisesti nuorten kilpamatematiikassa. Kurssi on siis opettajaopiskelijan (tai jo valmistuneen opettajan) näkökulmasta sisällöllisesti varsin mielekäs ja mielenkiintoinen. Silti itselläni vielä sisältöäkin tärkeämmäksi nousi mahdollisuus maistella muutaman vuoden tauon jälkeen matematiikan yliopistokurssia opiskelijan näkökulmasta. Olen nimittäin vakuuttunut siitä, että jokaiselle opettajalle on terveellistä aika-ajoin tutkailla opetusta ja opiskelua myös “aidan toiselta puolelta”.

Kurssi oli monin tavoin varsin mainio keskittyessään muutamaan keskeiseen aiheeseen sekä niiden soveltamiseen kombinatoristen ongelmien ratkomisessa. Toisaalta kurssilla käytettiin tuttujen laskuharjoitusten ja luentojen lisäksi vertaisarviointia ja projektitöitä. “Opettaja-minän” kannalta kurssin tärkeimmäksi jälkipohdinnaksi jäikin erilaisten harjoitusten ja opiskelun toteutustapojen miettiminen suhteessa kurssin tavoitteisiin.

Harjoitustehtäviä tehdessäni havaitsin nimittäin itsessäni karkeasti neljää (tai viittä) tehtävän “loppuunviemisen astetta”. Nimetään nämä asteet vaikkapa seuraavasti:

  1. (Tehtävän ohittaminen)
  2. Tehtävän lukeminen ja ideoiden pyörittely
  3. Ratkaisun idean kehittely (yksityiskohdat tarkastamatta tai kokonaan tekemättä)
  4. Karkean ratkaisun laatiminen (muistiinpanot, joiden avulla ratkaisun selittäminen kaverille/yleisölle onnistuu)
  5. Viimeistellyn ratkaisun laatiminen (selkeästi muotoiltu “oppikirjamainen” ratkaisu, jonka voi lukea ja ymmärtää helposti sellaisenaan)

Se, kuinka pitkälle ratkaisun vein, riippui jossain määrin siitä, odotettiinko kyseisestä tehtävästä esimerkiksi kirjallinen palautus vai oliko tehtävä tarkoitettu enemmän “omaksi iloksi”. Voi siis sanoa, että suoritukseni riippui aika tavalla ulkoisesta motivoinnista! Mutta toisaalta sisäisen motivaation osuus oli suuri: ratkaisun laatimiseen käytetty vaiva riippui myös siitä kuinka innostavana, pirullisena, hyödyllisenä tai tylsänä tehtävää pidin.

Kurssilla oli viikoittaisia harjoitustehtäviä n. 15 kappaletta ja tämän lisäksi pohdittavaksi annettiin yksi setti kombinatoriikkaan liittyviä matematiikkaolympialaisten tehtäviä. Osa harjoitustehtävistä oli “lisäpisteitä tuottavia” eli ne olivat kurssin tavoitteisiin nähden haastavampia, eikä niiden tekemistä edellytetty. Näistä “extra credit”-tehtävistä osan voinkin myöntää lähes ohittaneeni, mutta käytännössä kuitenkin vähintään luin tehtävän, mallinsin sitä hieman ja totesin, että tehtävä ei ratkea aivan helposti. Vein siis toisin sanoen tehtävän ratkaisun tasolle 1.

Mielenkiintoinen vaihe oppimisen kokemuksen kannalta oli se, kun oikeasti kävi tehtävän kimppuun. Tein tehtäviä asteittain ja palasin niihin yleensä useaan otteeseen. Jos en suoraan nähnyt tehtävän takana piilevää ajatusta, aloitin mallintamalla tehtävää ja pyörittelemällä ideoita. Mikäli sopivaa ajatusta ei löytynyt, jätin tehtävän hautumaan ja palasin siihen parin päivän päästä uudestaan. Mikäli löysin lupaavan idean, vein ratkaisua suurpiirteisesti eteenpäin. Usein, mikäli tehtävä oli sellainen, jota ei käsitelty lainkaan laskuharjoitustilanteessa, jätin ratkaisun tälle tasolle (2) ja luin myöhemmin malliratkaisun, johon vertasin omaa ratkaisuani. En suuremmin tarkistanut yksityiskohtia tai jätin ne kokonaan tekemättä.

taso2

Tasolle 2 viety ratkaisu.

Tehtävän ratkaisun vieminen tasolle 3 on jotakin, johon olen tottunut omissa opinnoissani: laskuharjoitustilaisuuksiin valmistellaan tehtäviin sellaiset ratkaisut, jotka voi esittää muille esimerkiksi liitutaulun avulla puheella ryyditettynä. Suurin piirtein tälle tasolle tulikin vietyä laskuharjoitustilaisuuksissa käsitellyt tehtävät.

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu.

Mielenkiintoista kurssilla oli se, että ainakin yksi tehtävä viikossa tuli vietyä pidemmälle (tasolle 4). Kurssin harjoitustehtävistä yksi tehtävä viikossa vertaisarvioitiin Moodlen välityksellä. Tavoitteena oli oppia kirjoittamaan hyviä ratkaisuja, jotka vertainen voi hyvin ymmärtää. Tämä tuntui vahvistavan kokemustani, jonka mukaan tunnun oppivan asian parhaiten, jos joudun selittämään sen jollekin muulle tai tekemään aiheesta oppimateriaalia. Tämän lisäksi sisäinen motivaationi tehdä huolellinen ratkaisu tehtävään tuntuu kasvavan, jos ajattelen, että joku muu saattaa jollain tavalla hyötyä ratkaisustani.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Kokemuksistani seurasikin kysymys: minkälainen “vaatimustaso” tehtävän ratkaisulle olisi kussakin tilanteessa parhaiten oppimista edistävä ja kurssin tavoitteisiin nähden tarkoituksenmukainen? Kokemukseni omista matematiikan opinnoistani oli, että tasolle 4 vietyä ratkaisua pyrittiin harjoittelemaan Analyysin harjoitustyössä (nykyään matematiikan harjoitustyössä ) ja tutkielmissa, mutta oikeasti opin matemaattisen tekstin kirjoittamista eniten opintojeni loppuvaiheessa laatiessani tehtävien malliratkaisuja laskuharjoitusten pitäjän roolissa. Siis oikeastaan opintojen ulkopuolella.

Nykyisillä laitoksemme kisällioppimisen menetelmällä toteutetuilla kursseilla matematiikan kirjoittamista on nostettu mukavasti esiin. Tehtäviä palautetaan kirjallisesti ja niistä saadaan palautetta. Tasolle 4 viemäni ratkaisut tuottivat ymmärrettävästi parhaan “osaamiskokemuksen”. Toisaalta, kuten kaikki joskus matematiikkaa puhtaaksi kirjoittaneet varmasti tietävät, tällaisen “nelostason ratkaisun” laatiminen vie myös paljon aikaa. Haastaisinkin itseni ja kaikki muutkin opettajat palaamaan opetuksen suunnittelussaan linjakkaan opetuksen hengessä peruslähtökohtiin:

  • Mitkä ovat kurssin oppimis- tai osaamistavoitteet?
  • Minkälaisilla järjestelyillä tavoitteet saataisiin parhaiten toteutumaan?
    • Alakysymyksenä: minkälaiset järjestelyt sytyttävät sisäisen motivaation?

Matemaattisten tehtävien osalta kursseilla tuntuu usein olevan helpointa (niin opiskelijan kuin opettajankin kannalta) tehdä asiat kuten ne on ennenkin tehty. Toisaalta tuntuu siltä, että usein kaikkein hedelmällisintä kehittämisen kannalta on kurssin opetuksen ja opiskelun miettiminen aivan peruslähtökohdista käsin.

Kiitokset kombinatoriikan kurssista erinomaista työtä tehneelle luennoitsijalle ja laskuharjoitusten pitäjälle!

Loppuun vielä lukuvinkkinä klassikkokirjallisuutta tehtävien kimpussa olemisesta:

  • Polya, G. (1945). How to solve it. (Tämä on juuri äskettäin suomennettu nimellä Ratkaisemisen taito: kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia)
  • Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically.

Opettamisesta oppimiseen

|

Tänä päivänä koulutusta ajatellaan yhä enemmän opiskelijalähtöisesti. Muutos voidaan nähdä sekä vallitsevassa oppimiskäsityksessä että käytännön opetustyössä. Nykyiset oppimiskäsitykset johdattavat huomion siitä, mitä opettaja tekee, siihen mitä opiskelija tekee. Toisaalta myös käytännössä todella monet opettajat ovat kokeneet, että vaikka esittävällä opetuksella asioiden käsittely on tiivistä ja ”taloudellista”, oppijat eivät suurinta osaa esitetystä asiasta enää myöhemmin muista. Tarvitaan jotakin parempaa.

Käytännön tasolla opettajat ovat tehneet erilaisia ratkaisuja välttääkseen ns. läpikäymisen pedagogiikkaa. Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksella (ja sitä ennen tietojenkäsittelytieteen laitoksella) on kehitetty tässäkin blogissa esiteltyä kisälliopetusta (tai pikemminkin kisällioppimista). Martinlaakson lukiosta on lähtenyt leviämään yksilöllisen oppimisen opetusmalli. Yhä useammat toteuttavat käänteistä opetusta (flipped classroom), jotkut taas projektioppimista. Mielekkäiden työtapojen etsiminen on ollut opettajan ”perustutkimusta” iät ja ajat, mutta nykyaikana tuntuvat korostuvan erityisesti oppijan aktiivinen rooli, teknologian hyödyntäminen ja yhteistoiminnallisuus.

Monessa yhteydessä on mainittu, että opettajuus on muutoksessa: opettajan rooli on tietysti erilainen opiskelijalähtöisimmissä opetuksen toteuttamistavoissa. Jossakin keskustelussa huomasin yhden keskustelijan — taisi olla jopa opetuksen tutkija — tekevän kovasti eroa opetuksen ja ohjaamisen välillä. Sanalla ”opetus” on usein vahva opettajakeskeisyyden kaiku (mieti sanaa ”opetus” virkkeessä ”kyllä opettajan pitäisi tunnilla opettaa ja käydä kaikki asiat läpi, jotta me ne sitten osataan”). Tuon keskustelun jälkeen mietimme opettajakollegani kanssa samaa kuin mitä olen kuullut monilta muiltakin opettajilta: “ohjaaminen” on opettamista parhaimmillaan, kun opettaja esimerkiksi selittää vain sen verran että saa lopulta oppijan itsensä selittämään. (Määritelmät ovat ihmistieteissä hankalia, mutta voisiko opettaminen olla esimerkiksi mitä tahansa intentionaalista toimintaa, missä pyritään siihen, että joku toinen oppii…)

Minulla on ilo päästä pilotoimaan loppusyksystä 2014 matematiikan ja tilastotieteen laitoksella aineenopettajaopiskelijoille suunnattua kurssia, jossa on tarkoitus tarkastella yliopistomatematiikkaa aineenopettajan näkökulmasta. Tällaiselle kurssille on vaikuttanut olevan tilausta, sillä abstraktin (tiede)matematiikan opiskelun merkitys omalle ammattitaidolle saattaa jäädä opettajaopiskelijalle opintojen aikana vähälle pohdinnalle. Kurssilla sisältöä ohjaa matemaattiseen ajatteluun liittyvä kirjallisuus ja toimintaa taas mm. konstruktiivisen linjakkuuden idea. Opiskelijan toiminta on tälläkin kurssilla keskiössä ja odotan mielenkiinnolla, millaisen kokonaisuuden saamme yhdessä aikaiseksi!

Mitä ajatteli nuori Gauss?

|

Kuuluisan saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin (1777–1855) kerrotaan hämmästyttäneen opettajaansa jo 9-vuotiaana matemaattisilla kyvyillään. Tarinan todenperäisyys on kuitenkin kaikkien historiallisten anekdoottien tapaan epäselvä. Tarinaa ja sen taustalla olevaa matematiikkaa on käsitelty mm. Matematiikkalehti Solmussa [1]. Tässä kirjoituksessa tarkastelen Gaussin (mahdollisesti) opettajaltaan saamaa tehtävää erilaisten näkökulmien — matematiikan eri ”maailmojen” — kautta.

Gaussin tehtävä

Gaussin kerrotaan olleen jo koulussa etevä laskija, ja opettaja joutuikin antamaan pienelle matemaatikonalulle runsaasti lisätehtäviä. Eräänä päivänä Gauss oli jälleen tehnyt kaikki annetut harjoitustehtävät, jolloin kyllästynyt opettaja käski hänen laskea yhteen kaikki kokonaisluvut yhdestä sataan eli summan 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. Opettaja tietysti odotti, että näin pitkän laskun laskeminen kestäisi jopa etevältä Gaussilta melko kauan, mutta eipä aikaakaan, kun Gauss oli kirjoittanut vastaukseksi 5050. Emme voi varmasti tietää, mitä Gauss oli ajatellut (jos kerrottu tarina on totta). Todennäköisesti hän oli keksinyt ”parittaa” yhteenlaskettavia seuraavasti:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51).

Silloin jokaisen parin summa on 101, ja pareja on yhteensä 50 kappaletta. Näin ollen tuloksen on oltava 50 * 101 = 5050. (Tämä päättely toimii, koska yhteenlaskettavia oli parillinen määrä.) Tulos voidaan yleistää koskemaan kaikkia luonnollisia lukuja (eli johtaa ”laskukaava” sille, miten lasketaan yhteen n kappaletta peräkkäisiä luonnollisia lukuja). Se, miksi tietty ”laskukaava” toimii, voi näyttäytyä meille monella eri tavalla. Mietinkin siis seuraavaksi edellistä esimerkkiä eri ”matematiikan maailmojen” näkökulmasta.

David Tallin matematiikan kolme maailmaa

Ajatellessamme matemaattisesti pyörittelemme usein – kuten äsken – numeroita ja muita matemaattisia symboleita. Toisaalta Gaussin saamaa laskutehtävääkin voisi symbolismin sijasta lähestyä myös konkretian tai formaalin matemaattisen teorian kautta. Nämä eri matemaattisen ajattelun aspektit ovat David Tallin matematiikan kolmen maailman näkökulman lähtökohdat [3]. Tallin jaottelu ei ole filosofinen positio tai teoria siitä, mitä matematiikka on, vaan yksinkertainen viitekehys sille, minkälaiset ajattelun aspektit ovat tai voivat olla läsnä, kun ihminen oppii matematiikkaa. Tallin matematiikan kolme maailmaa ovat

  1. käsitteellis-ruumiillinen/ilmenevä maailma (conceptual-embodied)
  2. proseptuaalis-symbolinen maailma (proceptual-symbolic) ja
  3. aksioomaattis-formaali maailma (axiomatic-formal).

Pyrin seuraavaksi avaamaan, mihin nämä vaikeat sanat viittaavat. Gaussin tehtävää aluksi miettiessäni päädyin siihen, että summa 1 + 2 + 3 + … + 100 on sama kuin 50*101. Luku 50 on puolet sadasta ja 101 on sama kuin 100+1. Yleisemmin voidaankin laskea n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen kaavalla

.

Miten tämä matemaattinen totuus voi meille näyttäytyä tai miten sen voi keksiä? Tallin ensimmäisen maailman näkökulmasta se voi näyttäytyä esimerkiksi seuraavanlaisen kuvan avulla.

Kuvassa summa 1 + 2 + 3 + 4 ruumiillistuu ja ilmenee punaisten tai sinisten ruutujen lukumääränä. Koska ruutuja on yhteensä 4*5 kappaletta ja lisäksi sinisiä ja punaisia ruutuja on yhtä paljon, on summan 1 + 2 + 3 + 4 pakko olla puolet tulosta 4*5. Voimme ”sielumme silmin” nähdä, että olipa ruutujen määrä mikä tahansa (n kappaletta), havaintomme pysyy samana: yhtälön

on pakko olla totta. Tallin ensimmäisessä maailmassa on siis kyse siitä, että matematiikkaa ymmärretään asioiden konkretisoituessa tavalla tai toisella (esineet, kuvat, mielikuvat, kehollinen kokeminen…). Tällaiset matematiikkakokemukset ovat mm. Varga–Neményi-menetelmän (eli ns. unkarilaisen matematiikan) ydintä [4]. 

Toisaalta asiaa voi ajatella symbolisesti Tallin toisen maailman näkökulmasta esimerkiksi merkitsemällä S = 1 + 2 + 3 + … + n ja ”laskemalla allekkain”:

________________________________________________

Siis on oltava 2S = n(n+1), mikä tarkoittaa että S = n(n+1)/2. Tämä matematiikan maailma näyttäytyy usein koulun matematiikan tunneilla ja myös korkeakouluissa matematiikkaa opiskellessa. Maailman nimessä esiintyvä sanaleikki ”prosepti” viittaa sanoihin process ja concept; ajattelemme symboleita pyöritellessämme sekä yhteenlaskun prosessia että lukujen yhteenlaskua käsitteenä.

Mikä sitten on Tallin kolmannen maailman näkökulma esiteltyyn summakaavaan? Aksiomaattis-formaalissa maailmassa katsotaan nimensä mukaisesti matematiikkaa siitä näkökulmasta, mikä olisi ns. formalistisen matematiikkakuvan mukaista matematiikkaa: matematiikka perustuu sovittuihin aksioomiin, joista johdetaan deduktiivisesti uutta tietoa. Tässä tarkasteltava väite koskee matemaattisen teorian näkökulmasta luonnollisten lukujen joukkoa. Luonnolliset luvut määritellään matemaattisessa teoriassa esimerkiksi ns. Peanon aksioomien avulla. Summakaavan väite voitaisiin formaalisti todistaa induktiotodistuksella, sillä Peanon aksioomissa on mukana ns. induktioaksiooma. Väite todistettaisiin toteamalla aluksi, että väite E(n), joka on yhtälö 1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 pätee, kun n=1. Tämä on itse asiassa melko helppo huomata, sillä

.

Tämän jälkeen todistettaisiin lause E(n) => E(n+1) (eli jos väite pätee arvolla n, niin se pätee myös arvolla n+1). Tämän jälkeen induktioaksiooman perusteella tulos pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla. Käyn läpi seuraavaksi myös myös ”jossittelulauseen” E(n) => E(n+1) todistuksen.

Oletetaan, että

.

Tällöin

.

Tallin ensimmäisessä ja toisessa maailmassa jouduin turvautumaan “potentiaalisesti äärettömiin” todistuksiin saadakseni itseni vakuuttuneeksi kaavan oikeellisuudesta. Aksiomaattis-formaalissa maailmassa todistus on “äärellinen” ja tuloksen yleistyminen kaikkia luonnollisia lukuja koskevaksi (vaikken jokaista tapausta voi koskaan erikseen käydä läpi) selittyy sillä, millaiseksi luonnollisten lukujen joukko ymmärretään matematiikan teoriassa.

Matematiikan kuusi osaa ja vuoropuhelu

Mikä äsken esitellyistä näkökulmista sitten on oikea tapa ajatella asiaa? Mielestäni mikään tapa ei ole sen enempää ”oikea” kuin toinen, vaan nämä kaikki voivat olla läsnä ajattelussamme. Puhuttaessa matemaattisesta ajattelusta ei tarvitse (eikä ehkä ole edes hyötyä) ottaa kantaa siihen, mitä matematiikka ontologisessa mielessä on, eli ovatko esimerkiksi matemaattiset oliot olemassa ”tuolla jossakin” (platonismi) vai onko matematiikka vain sääntöjä ja merkkijonoja (formalismi). Toimintamme on siitä riippumatta samanlaista.

Juha Oikkonen on ehdottanut Tallin kolmen maailman rinnalle matematiikan kahta puolta, jotka ilmenevät, kun matematiikkaa tehdään ”tässä ja nyt” [2]. Oikkonen jaottelee matematiikan sosiaalis-subjektiiviseen ja objektiivis-formaaliin puoleen. Oikkosen näkemys on, että matematiikan tekeminen on (parhaimmillaan) jatkuvaa vuoropuhelua näiden kahden puolen välillä. Kahtiajako yhdistettynä Tallin kolmijakoon näyttäisi itse asiassa tuottavan mielenkiintoisen ”matematiikan kuuden osan” näkökulman.

Jos piirrän Tallin ensimmäiseen maailmaan kuuluvan kuvan ymmärtääkseni summakaavan, on samaan aikaan käsissäni jotain objektiivista ja jotain subjektiivista. Kuva on objektiivinen siinä mielessä, että kaikki voivat sitä havainnoida ja se on muuttumaton. Toisaalta se, miten kuvassa nähdään matemaattisia ideoita, on subjektiivista. (Lukija voi vielä vilkaista kuvaa, jossa oli sinisiä ja punaisia ruutuja ja miettiä, millä tavoilla matemaattinen idea siinä näkyy.) Näin Tallin ensimmäisen maailman ilmiöt voidaan nähdä jakautuvan kahtia.

Tallin toiseen maailmaan kuuluvat laskusäännöt ovat jotain täysin objektiivista ja esimerkiksi aiemmin kirjoittamani laskut ovat siis objektiivisesti tosia. Toisaalta myös symboliseen toimintaan liittyy sosiaalis-subjektiivinen puoli; mm. oppijoiden muodostamat miniteoriat (eli ”omat laskusäännöt”) tuntuvat selvästi kuuluvan tähän. Miniteoriassa voi olla kyse esimerkiksi “väärästä yleistyksestä”. Koska

,

voisi paremman tiedon puuttuessa tulla ajatelleeksi että pätee myös

.

Tällaiset miniteoriat ovat luonteeltaan vahvasti subjektiivisia: oppija rakentaa ne itse.

Aksiomaattis-formaaliin maailman taas ajattelisi olevan oikeastaan täysin objektiivista. Mutta myös siihen liittyy sosiaalis-subjektiivinen puoli. Tätä edustaa esimerkiksi matemaatikkojen strateginen metatason keskustelu: ”Voisimme käyttää ajatuksia X,Y ja Z asian Ö todistamiseksi.” Esimerkiksi tällainen keskustelu on osa matematiikan tekemisen (sosiaalis-subjektiivista) prosessia erona objektiivisille matemaattisille tuloksille.

Kaikkein opettavaisinta tässä kaikessa lienee se, että matemaattisen ajattelun ja keksimisen prosessi voi liikkua useilla eri tasoilla. On monta tapaa ”kokea matematiikkaa” ja tehdä sitä itselleen ja muille mielekkääksi. On sääli, jos koulussa matematiikan oppiminen jää pelkäksi merkityksettömäksi symbolien pyörittelyksi.

 

Viitteet:

[1] Matematiikkalehti Solmu. http://solmu.math.helsinki.fi/2008/diplomi/gauss.pdf (13.3.2013)

[2] Oikkonen, J. (2004). Mathematics between its two faces, Matemaattisten aineiden opettajan taitotieto – haste vai mahdollisuus, L. Jalonen, T. Keranto and K. Kaila (toim.), University of Oulu, Finland, pp. 23-30, ISBN 951-42-7886-0.

[3] Tall, D. (2004). Thinking through three worlds of mathematics, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway, 4, 281–288.

[4] Varga–Neményi – yhdistys ry. http://www.varganemenyi.fi/includes/menetelma.php (13.3.2013)