Voivatko opiskelijat antaa omat arvosanansa?

Olen nyt jo muutaman vuoden ajan antanut algebran kurssin opiskelijoideni määrätä arvosanansa itse. Kyseessä on maisterivaiheen kurssi, joka on yhden lukukauden mittainen ja jolla on noin 20 opiskelijaa vuosittain. Kurssin järjestelyt eivät ole muutenkaan aivan tavalliset, sillä kurssilla esimerkiksi ole lainkaan luentoja. Näistä voi lukea lisää toisesta blogikirjoituksestani sekä kurssin Moodle-alueelta. Kurssijärjestelyt on kehitetty yhdessä Jokke Häsän kanssa.

Kurssilla käytetyn itsearvioinnin tarkoituksena on saada opiskelijat pohtimaan omaa oppimistaan. Kurssin tavoitteet on kirjattu oppimistavoitematriisiksi, jossa on listattu eri arvosanoja vastaavat taidot niin matemaattisten aihealueiden kuin yleisten taitojen kuten kommunikoinnin ja kirjoittamisen osalta. Opiskelijat harjoittelevat omien taitojensa arviointia koko kurssin ajan tekemällä itsearviointiharjoituksia, joissa he määrittävät oman osaamisensa kunkin aihealueen kohdalla ja kirjoittavat siihen liittyviä pohdintoja ja perusteluja.

Itsearvioinnin tukena ovat kurssin tehtävistä saatu palaute, jota opiskelijat saavat minulta ja kurssitovereiltaan. Lisäksi kukin opiskelija pääsee keskustelemaan omasta osaamisestaan kahden kesken kanssani kurssin puolivälissä. Koska olen viikoittain tiiviisti tekemisissä opiskelijoiden kanssa ja puhun heidän kanssaan kurssin aihepiireistä, on minulla melko hyvä käsitys kunkin opiskelijan taidoista. Sen ansiosta pystyn antamaan opiskelijoille palautetta heidän itsearvioinneistaan.

Kurssin lopussa on varsinainen arviointikeskustelu, jossa opiskelija määrää oman lopullisen arvosanansa. Jos arvosana on riittävän hyvin linjassa opiskelijan tekemän työn kanssa, hän saa itselleen antamansa arvosanan. Muussa tapauksessa keskustelen opiskelijan kanssa asiasta tarkemmin.

Äkkiseltään voisi kuvitella, että itsearviointi saisi kaikki opiskelijat antamaan itselleen hyviä arvosanoja. Näin ei kuitenkaan ole, ja välillä opiskelijoita saa jopa kannustaa antamaan itselleen korkeampia arvosanoja. Joissakin harvoissa tapauksissa opiskelijan arvio omasta osaamisestaan on ollut huomattavasti korkeampi kuin minun arvioni. Tällaisissa tapauksissa minulla on yleensä ollut hyvin vähän vuorovaikutusta opiskelijan kanssa, mikä on tehnyt opiskelijan taitojen arvioinnista vaikeaa. Jotta tällaisia tilanteita ei pääsisi syntymään, olen tänä keväänä muuttanut kurssijärjestelyjä. Opiskelijoiden pitää nykyään palauttaa kaikki tekemänsä tehtävät ja olla läsnä kurssitapaamisissa. Lisäksi he palauttavat kurssin aikana kirjallisesti useita itsearviointeja. Näin tiedän paremmin, mitä opiskelijoilleni kuuluu.

Kurssin opettaminen on todella antoisaa ja palkitsevaa, sillä opiskelijat pystyvät itsearvioinnin ja kokeen puuttumisen ansiosta keskittymään asioiden ymmärtämiseen ja opiskelemaan itseään varten. Lisäksi on hienoa, että voin ottaa kurssin arvioinnissa ottaa myös yleiset taidot. Nämä näkökulmat näkyvät myös opiskelijoiden palautteissa:

“Nyt en panostanut ollenkaan asioiden ulkoa osaamiseen, vaan vain niiden ymmärtämiseen, jotta tulevaisuudessa tarpeen tullen sitten niitä voi käyttää/oppia nopeasti uudelleen.”

“[…] Luulen kuitenkin, että kurssilla ei ollut bulimiaoppimista. Muistan sisällöt paremmin.”

“[…] tentissä onnistuminen ei ole kiinni vain siitä, että kuinka hyvin siihen on valmistautunut. Joinakin päivinä keskittyminen on vaikeampaa kuin toisina päivinä. Tällaisella kurssilla […] lopullinen arvosana ei ole kiinni niin paljon vain yhdestä suorituskerrasta, vaan jokainen laadittu ratkaisuehdotus ja myös arviointikeskustelut ovat yksittäisiä suorituksia, jotka vaikuttavat lopulliseen arvosanaan.“

“[…] tentti testaa vain asiaosaamista, mutta arviointikeskustelussa punnitaan myös muuta osaamista.”

Seuraava tavoitteemme on siirtää itsearviointimalli suuremmille kursseille. Olemme muokanneet mallia ja testanneet sitä ensimmäisen vuoden lineaarialgebran kurssilla, jolla oli 400 opiskelijaa. Tulokset ovat lupaavia, ja niistä voi lukea täältä sekä tulevista blogikirjoituksista.

 

 

 

 

Ongelmalähtöistä oppimista matematiikan aineenopettajakoulutuksessa

Olen muutaman viime vuoden aikana pitänyt kurssia, jonka otsikkona on ollut “Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”. Kurssin sisällöllisistä ajatuksista voit lukea aiemmasta blogitekstistäni. Kurssilla keskeiseksi työskentelytavaksi on muotoutunut ongelmalähtöinen oppiminen (problem-based learning, PBL) ja sen sukulainen case-oppiminen (case-based learning). Yksi minua kurssin opettajana ja aihetta liipaten väitöskirjaa tekevänä tutkijana kiinnostava kysymys on, miten opettajaopiskelijat kokevat tällaiset työskentelymuodot matematiikan aineenopettajakoulutuksessa. Kerron tässä kirjoituksessa lyhyesti näistä työskentelymuodoista ja nostan esiin muutamia teemoja kursseille osallistuneiden opiskelijoiden kokemuksista työskentelytapojen vahvuuksista ja haasteista.

Ongelmalähtöisen oppimisen juuret ovat lääketieteen opetuksessa; jo 1960- ja 1970-lukujen taitteessa Pohjois-Amerikassa lääketieteelliset tiedekunnat ryhtyivät järjestämään opetusta niin, että opiskelijat ratkoivat koulutuksessaan sellaisia tosielämän ongelmia, joita tulisivat kohtaamaan myös työelämässä. Ajatuksena oli, että tällaisten ongelmien ratkaisemisessa kehittyy substanssiosaamisen lisäksi tärkeät geneeriset taidot kuten tiedonhaku ja ryhmätyöskentely. Ongelmalähtöinen oppiminen pitää sisällään useita lähestymistapoja, mutta tyypillisimmin se etenee niin, että opiskelijaryhmä (esim. 4-6 henkilöä) saa eteensä virikeaineiston, jonka pohjalta he määrittävät tavoitteet itsenäiselle opiskelulleen. Virikeaineistot kuvaavat tyypillisesti jonkin tosielämän ongelman (kuten jokin matematiikkaan ja/tai sen opettamiseen liittyvä haastava kohta), mutta ovat avoimia siinä mielessä, että niitä voi tarkastella ja “ratkoa” useasta eri näkökulmasta. Opiskelijaryhmät kokoavat prosessin aikana aiheeseen liittyvää tietoaan ja lopuksi kerätyistä tiedoista muodostetaan synteesi, joka tyypillisesti myös esitellään muille pienryhmille.

Case-oppimisessa keskitytään ongelmalähtöisen oppimisen tapaan tosielämään liittyviin ongelmiin, mutta prosessi on tyypillisesti lyhyempi: opettaja voi esimerkiksi alustaa aiheeseen liittyvällä teorialla, jolloin virikeaineisto on ikään kuin esimerkki, johon aiemmin käsiteltyä asiaa sovelletaan. Tämä prosessi on myös hieman suljetumpi ja ohjatumpi: opettaja voi halutessaan päättää tarkemmin niistä näkökulmista ja sisällöistä, joita hän ehdottomasti haluaa käsiteltävän. Tällaiseen case-oppimiseen ei tyypillisesti sisälly opiskelijoiden laajaa itsenäistä tiedonhakua, mutta toisaalta tällaisessa työskentelymuodossa on mahdollista ongelmalähtöisen oppimisen tapaan kytkeä substanssi työelämän kontekstiin ja toisaalta keskustella vapaamuotoisesti aiheeseen liittyvistä eri näkökulmista.

Tällaisia lähestymistapoja käytettäessä kurssipalautteessa on toistunut usein samat teemat. Vahvuutena tällaisissa työskentelytavoissa on nähty erityisesti mahdollisuus vapaamuotoiseen keskusteluun, pienryhmässä toimiminen ja oppimisen autonomisuus. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta hyvin nämä yleisemminkin työskentelytavan vahvuuksina koetut puolet:

“Jokainen ryhmä tulkitsi ongelmat eri tavalla, minkä vuoksi monia mielenkiintoisia näkökulmia nousi esille. Työskentely antoi vapaat kädet selvittää asiaa omalla tavalla, mikä lisäsi motivaatiota. Ryhmämme toimi erittäin hyvin yhteen, mikä korostaa tällaisen työskentelyn erinomaisuutta. Keskustelut pienissä ryhmissä olivat todella hyviä!

Toisaalta ongelmalähtöinen oppiminen on koettu osittain työläänä ja vaikeana. Lisäksi avoimet ongelmat voivat helposti johtaa sellaisten näkökulmien tarkastelulle, jotka eivät ole täysin linjassa kurssin oppimistavoitteiden kanssa. Lisäksi ryhmätyöskentely tuo usein mukanaan ryhmädynamiikkaan liittyviä ongelmia, joille opettajan on minusta tärkeä olla herkkänä. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta todella hyvin näitä yleisesti haastavina koettuja puolia:

“PBL-projektien vapaa kulkusuunta tuo mukanaan riskinsä. Työskentely ei välttämättä kulje kurssin tavoitteiden suuntaan. Lisäksi yksi dominoiva henkilö ryhmässä voi ohjata toistuvasti ryhmän työskentelyä omaa näkemystään mukailevaksi […]”

Opettajan on uskoakseni tällaisessa työskentelyssä mietittävä tarkkaan, miten menetelmän käyttöönottoon totutellaan ja miten itsenäistä tiedonhakua ja ryhmätyötä allakoidaan niin, että kurssin työmäärä pysyy opintopistemäärää vastaavana. Erityisen hankalana kysymyksenä olen kokenut sen, miten säilytetään tasapaino sisäistä motivaatiota lisäävän autonomisuuden ja kurssin linjakkuuden välillä. Lisäksi olen usein miettinyt ryhmädynamiikkaan liittyviä haasteita: nämä voivat jäädä usein opettajalta havaitsematta, mutta olen saanut kuulla niistä kurssin aikana kirjallisten itsearviointien kautta, johon olen pyytänyt kirjoittamaan tarvittaessa myös pienryhmän toimintaan liittyviä havaintoja. Tämän vuoksi tuntuu tärkeältä, että kurssin aikana tapahtuu kaksisuuntaista ja “keskustelevaa” palautetta.

Kaiken kaikkiaan opettajan näkökulmasta tällainen lähestymistapa opetukseen on joka tapauksessa todella antoisa: jokaisella kerralla oppii myös itse todella paljon uutta!

”Hurjaa hippimeininkiä!” eli opiskelijat päättämässä oman arvosanansa matematiikan massakurssilla

Otsikon lainaus on peräisin erään opiskelijan viestistä luentochatissa, kun Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I -kurssin aloitusluennolla kerrottiin, että kurssilla ei ole lainkaan tenttiä. Sen sijaan jokainen opiskelija olisi itse vastuussa oman arvosanansa asettamisesta. Siis hetkinen!

Idea itsearvioinnista kurssin arviointimuotona lähti Johanna Rämön aiemmasta kurssikokeilusta, josta voit lukea täältä. Keväällä 2017 idea lähti jalostumaan: kuinka siirtää itsearvioinnin pedagogiikkaa suuremmille massakursseille? Perinteiseen arviointiin liittyy useita ongelmakohtia kuten bulimiaoppiminen ja koestressi. Jokainen yliopistossa opiskellut tunnistaa varmasti tilanteen, jossa tenttikirjapinoa pläräillään viimeisenä iltana ennen koetta paniikissa, päivän kahdeksannen kahvikupin äärellä. Olisiko jonkin toisen arviointimuodon avulla mahdollista päästä loppujen lopuksi jopa parempiin oppimistuloksiin – tai ainakin hieman fiksumpien työskentelymuotojen äärelle?

Kehitimme kurssille Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I oppimisympäristön, jota kutsumme ”reflektiokeskeiseksi”. Sanahirviö kätkee taakseen mitä erilaisimpia arvioinnin ja palautteen muotoja. Kurssilla tarjottiin opiskelijoille palautetta kirjallisesti (palautettavista tehtävistä), automaattisesti (sähköisistä Stack-tehtävistä) sekä epäformaalisti (ohjauksen muodossa). Lisäksi kurssilla harjoiteltiin vertaispalautteen antamista. Ja niin: kurssilla harjoiteltiin kaksi kertaa oman osaamisen itsearviointia, ja kurssin lopuksi jokainen sai asettaa itselleen oman arvosanan. Apuna tässä toimi oppimistavoitematriisi. Itsearvioinneista sai myös sähköistä palautetta, joka kertoi summittaisesti, vastaako opiskelijan oma arvio tietyn oppimistavoitteen suhteen hänen kurssilla tekemiään, tavoitteeseen liittyviä tehtäviä. Kurssin tukikohta toimi Moodlessa – 164 opiskelijaa piti huolen siitä, että ilman sähköistä toteutusta tätä oppimisympäristöä ei olisi voinut toteuttaa!

Mihin tällainen oppimisympäristö sitten johti? Toteutuiko kauhuskenaario ”jokainen antaa itselleen vitosen ja juoksee karkuun”? Ensinnäkin, opiskelijat tekivät vuoden 2016 kurssiin verrattuna paljon enemmän tehtäviä. Positiiviseksi ongelmaksi nousi se, että tehtäviä tehtiin niin paljon, että niiden tarkastajien työtunnit loppuivat kesken! Opiskelijat tekivät tehtäviä myös edellistä vuotta tasaisemmin. Arvosanat sen sijaan eivät jakautuneet tasaisesti: opiskelijat arvioivat itselleen suuria arvosanoja, ja arvosana 5 olikin selvästi yleisin. Arvosanan 5 saaneet opiskelijat tekivät toisaalta tällä kurssilla todella suuren määrän tehtäviä. Kuinka paljon tehtäväpisteiden määrä kertoo oppimisen tasosta verrattuna kurssikokeeseen? Entä kuinka paljon tästä kertoo perinteinen kurssikoe? Näitä kysymyksiä jouduimme käsittelemään hyvin usein kurssikehityksen tiimellyksessä.

Taulukko 1: Kurssin tehtäväpisteet verrattuna edellisen vuoden kesäkurssiin

STACK-tehtävät Paperiset tehtävät
Keskiarvo (%) Keskihajonta Keskiarvo (%) Keskihajonta
Kesä 2016 61,2 34,7 68,0 33,0
Kesä 2017 68,5 32,2 74,6 23,1

Taulukko 2: Pystyvyysusko sekä syvä- ja pintaopiskelun strategiat aineistossa (asteikolla 1–5)

Keräsimme lopullisen itsearvioinnin yhteydessä kurssipalautteen, sillä halusimme aidosti kuunnella opiskelijoiden ääntä uuden kurssimallin kehitystyössä. Avointen vastausten analyysi paljasti, että kokeen poistaminen vähensi stressiä ja rohkaisi opiskelijoita opiskelemaan itseään varten. Opiskelijat kuvasivat vastauksessa vastuun ottamista omasta oppimisestaan. Lisäksi sisäisen motivaation kuvailut nousivat aineistosta esille. Itsearviointi nähtiin hyödyllisenä kurssin osana, joka auttoi hahmottamaan omaa osaamista ja tuki opiskelua. Toisaalta opiskelijat kaipasivat koekertausta. Lisäksi toistuva teema opiskelijoiden vastauksissa oli oppimisympäristön outous: näin autonominen itsearvioinnin kulttuuri ei tosiaankaan ollut opiskelijoille entuudestaan tuttu!

”Tentittömyys on myös poistanut turhaa stressiä, jolloin motivaatio oppimiseen on pysynyt täysin asioiden ymmärtämisessä, ei tenttiarvosanan tavoittelussa.”


Lopulta kyse on siitä, että haluamme muuttaa oppimiskulttuuria kurssilla aivan totutusta päinvastaiseksi. Väitämme, että jos oppimisympäristön halutaan kannustavan syvään oppimiseen ja sisäiseen motivaatioon, niin kaikkien sen elementtien on tuettava tätä tavoitetta aidosti. Kurssin tarkoituksena ei ollut ”liimata” normaalin kurssin päälle itsearviointityökalua, vaan antaa avaimet oppimiseen aidosti opiskelijalle itselleen. Kurssikokeilu asettaakin opiskelijat perustavanlaatuisten kysymysten äärelle. Ketä varten minä opiskelen? Mikä on tavoitteeni kurssin suhteen? Entä motivaationi? Myönnettäköön siis, että erään opiskelijan ”hippimeininki”-kommentti osui naulan kantaan.

Kuinka maisterivaiheen kurssista muodostui matemaatikkojen yhteisö

Olen jo usean vuoden ajan käyttänyt kursseillani uutta opiskelijakeskeistä menetelmää, tehostettua kisällioppimista. Viime aikoinan olen opettanut vain suuria 1. ja 2. vuoden massakursseja, mutta viime keväänä pääsin opettamaan pientä maisteritason kurssia. Sovelsin kurssin opetuksessa tehostetun kisällioppimisen menetelmästä tuttuja elementtejä sekä Peter Liljedahlilta saatuja ideoita Ajattelevasta luokkahuoneesta (Thinking classroom).

Vaikka kokeilin kurssitoteutusta ensimmäistä kertaa, se toimi hämmästyttävän hyvin. Kun opiskelijat oppivat tuntemaan toisensa, syntyi kurssille poikkeuksellinen ilmapiiri. Monesti jäin vain ihmeissäni seuraamaan, kun opiskelijat keskustelivat keskenään kuulostaen ihka oikeilta matemaatikoilta. He yrittivät yhdessä ratkoa ongelmia tuoden keskusteluun omat ideansa ja synnyttäen siten lisää ideoita muissa. Tänä keväänä toteutin kurssin uudelleen tehden opetusmenetelmään pieniä korjauksia.

Opiskelijat harjoittelivat koko kurssin ajan ryhmätyötaitoja tekemällä tehtäviä yhdessä. Kuvassa rakennettavien Platonin kappaleiden symmetriat olivat yksi kurssin suosikkiaiheista toiminnallisuutensa vuoksi.

Kurssin opetus koostui

  • viikkotehtävistä
  • kurssimateriaalista, jota opiskelijat lukivat itsenäisesti
  • tehtävien tekoon ja materiaalin lukemiseen annetusta ohjauksesta
  • ryhmätyöskentelystä
  • oppimistesteistä, joilla opiskelijat arvioivat omaa osaamistaan ja jotka antoivat ohjeita opiskeluun
  • kahdenkeskisestä arviointikeskusteluista opettajan kanssa kurssin puolivälissä ja lopussa.

Kurssialustana toimi Moodle, jonne opiskelijat saattoivat laittaa ratkaisujaan toisten näkyville.

Kunakin viikkona oli kolme kahden tunnin tapaamista. Pääasiassa opiskelijat tekivät tapaamisissa tehtäviä omaa tahtiaan kurssimateriaalin avulla. Ohjasin heitä työskentelemään ryhmissä sen mukaan, mitä tehtävää kukin teki, ja kiertelin keskustelemassa tehtävistä ryhmien kanssa.

Käytin paljon aikaa siihen, että opiskelijat oppisivat tuntemaan toisensa ja heistä olisi luontevaa keskustella yhdessä matematiikasta. Tässä auttoi erityisesti ohjattu ryhmätyöskentely, jossa kaikki opiskelijat työskentelivät 2–3 hengen ryhmissä saman ongelman kimpussa. Yleensä otin ongelmat viikkotehtävien joukosta. Opiskelijat luonnostelivat ajatuksiaan liitutauluille, jolloin lopuksi oli helppo keskustella yhdessä heidän ratkaisuistaan. Tätä varten käytössä oli luokkahuone, jonka seinät olivat täynnä liitutauluja.

Opiskelijat pohtivat tehtäviä yhdessä ja kirjoittivat ajatuksensa taululle. Tällä tavoin niistä oli niistä helppo keskustella yhdessä koko ryhmän kesken.

Kurssilla ei ollut luentoja. Toisinaan saatoin kuitenkin pitää muutaman minuutin yhteisen puheenvuoron kooten vaikkapa yhteen jokin asiakokonaisuuden tai kertoen käsitteiden historiasta.

Joka viikko opiskelijat jaettiin pareiksi, jotka laativat ratkaisuehdotukseen yhteen viikkotehtävään. He kirjoittivat ratkaisun puhtaaksi yhdessä ja esittivät sen sitten muille. Näin harjoiteltiin sekä matematiikan kirjoittamista että siitä puhumista. Parit vaihtuivat viikoittain, jotta opiskelijat saivat työskennellä mahdollisimman monen eri ihmisen kanssa. Arvoin parit opiskelijoiden nähden samoin kuin heille jaettavat tehtävät. (Esimerkiksi korttipakka sopii tähän hyvin. Pakasta voi valita sopivan määrän kortteja ja ne, jotka saavat saman numeron, muodostavat parin.)

Ratkaisuehdotusten tekeminen voi olla opiskelijoille työlästä. Siksi valitsin tähän tarkoitukseen tehtävien joukosta melko helppoja tehtäviä. Jotta työmäärä pysyisi järkevänä, annoin kullekin opiskelijalle ratkaisuntekovuoroja vain joka toiselle viikolle. Muina viikkoina opiskelijat laativat parin virkkeen tiivistelmän jonkin tehtävän ratkaisusta. Näin ote kurssista ei herpaanunut, ja samalla opiskelijat saivat harjoitella ilmaisemaan matemaattisia ideoita ymmärrettävässä ja selkeässä muodossa.

Kurssilla oli viikkotehtävien lisäksi kaksi laajempaa harjoitustehtävää, jotka opiskelijat tekivät itsenäisesti ja joista annoin kirjallista palautetta. Opiskelijat saivat kehittää ratkaisujaan palautteen perusteella.

Kurssipalautteen perusteella opiskelijat pitivät uudesta opetusmuodosta. Suurin osa haluaisi osallistua vastaavalla menetelmällä opetetulle kurssille uudelleen. Tässä vielä joitakin poimintoja opiskelijapalautteesta:

”Mielestäni erittäin hyvä kurssi, toivon että laitokselle ilmestyisi enemmän vastaavanlaisia kursseja.”

”Kurssin muoto on todella mainio ja kannustava.”

”Tämä on loistava tapa opetella matemaattisen tekstin kirjoittamista ja ryhmätyöskentelyä, joten tämän tyylisiä kursseja on hyvä olla muutama tarjolla. Mielestäni näin olisi järkevää korvata pakollisia kieliopintoja.”

”Kiitos kurssista, se oli oikein hauska ja hyödyllinen kokemus, toivottavasti toimintamalli tulee käyttöön joissain muissakin kursseissa!”

Kurssilla ei ollut tenttiä, vaan arvosana määräytyi ohjatulla itsearvioinnilla. Tästä seuraa lisää tietoa myöhemmässä blogitekstissä.

Yliopistomatematiikka, koulumatematiikka ja opettajan tieto

Suomalaisen matematiikan aineenopettajakoulutuksen voidaan katsoa sisältävän varsin kattavan paketin matematiikan opintoja, pedagogisia opintoja ja käytännön opetusharjoittelua kouluissa. Toisin sanoen, koulutuksessa kertyy varsin suuri määrä opettajalle tärkeää tietoa. Toisaalta sekä opettajaopiskelijat että työelämässä toimivat matematiikan opettajat saattavat kokea yliopistossa opiskellun matematiikan irrallisena koulussa opetettavasta sisällöstä (esim. Koponen, Asikainen, Viholainen, & Hirvonen, 2015; Yrjänäinen, 2011).

Kiinnostava kysymys onkin, minkälaisen kokonaisuuden otsikon mukainen kolmikko ”yliopistomatematiikka”, ”koulumatematiikka” ja ”opettajan tieto” muodostaa. Lähdetään miettimään asiaa yksinkertaisen esimerkin näkökulmasta. Toisen asteen polynomifunktio esitetään tunnetusti muodossa f(x) = ax2 + bx + c. Lukion matematiikasta tiedetään hyvin, että toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on alas- tai ylöspäin aukeava paraabeli. (Mikä olikaan muuten paraabelin (geometrinen) määritelmä?) Kerroin a määrää tunnetusti sen, aukeaako paraabeli alas- vai ylöspäin. Ajatellaan, että olet matematiikan opettaja ja oppilaasi kysyy, miksi kuvaaja kääntyy kertoimen a mukaan. Miten reagoit?

Mietit ehkä, mikä olisi paras tapa lähestyä kysymystä niin, että vastaus ja mahdollisesti sitä seuraavat pohdinnat edistäisivät oppilaan ymmärrystä. Voidaankin katsoa, että kyse on niin sanotusta pedagogisesta sisältötiedosta; miten lähestyn oppiaineen X sisältöä Y oppimiseen liittyvässä tilanteessa Z. Kuitenkin se, mitä tiesit asiasta ”puhtaan matemaattisessa mielessä” varmastikin vaikutti siihen, minkälaisia lähestymistapoja kehittelit. Teoreettisesti tarkasteltuna niin sanottu matemaattinen sisältötieto nähdäänkin pohjana pedagogiselle sisältötiedolle (esim. Ball, Thames, & Phelps, 2008). Tutkimuksissa onkin havaittu, että opettajaopiskelijan pedagogiset lähestymistavat ovat mielenkiintoisella tavalla kytköksissä matemaattiseen sisältötietoon (esim. Even, Tirosh, & Markovits, 1996).

Palataan vielä hetkeksi toisen asteen polynomifunktioon; asiaa voidaan nimittäin lähestyä varsin monesta suunnasta. Voidaan esimerkiksi miettiä, miten ongelmaa voisi muokata yksinkertaisemmaksi. Miltä näyttävät muotoa x ↦ ax2 olevien funktioiden kuvaajat? Entä muotoa muotoa x ↦ ax2 + c olevat? Esimerkiksi tällaista tehtävänannon muokkaamista Ball kollegoineen (2008) pitää opettajalle matematiikan opettajalle erityisenä sisältötiedon lajina. Toisaalta voidaan miettiä esimerkiksi, mihin laajempaan kontekstiin kyseinen matemaattinen sisältö liittyy: minkälaisista funktioista toisen asteen polynomifunktiot ovat erikoistapaus jne. Opettajan tietoon tuntuukin siis liittyvän sekä matemaattisen sisältötiedon että pedagogisen sisältötiedon osalta vähän kaikenlaista…

Ilmaan saattoi kuitenkin jäädä edelleen leijumaan kysymys siitä, mikä rooli yliopiston matematiikan kursseilla on opettajan tiedolle. Erityisesti lukion matematiikka tuntuu kuitenkin olevan pullollaan kohtia, joita käsitellään tarkemmin yliopiston matematiikan kursseilla. Tällaisia kohtia voi löytää erityisesti analyysiin, vektoreihin, todennäköisyyslaskentaan, tilastolliseen päättelyyn, logiikkaan ja lukualueisiin liittyen. Tällaisia yliopiston ja koulumatematiikan yhteyksiä voikin hyvin pohdiskella joko ”alhaalta ylöspäin” tai ”ylhäältä alaspäin” (ks. Dreher, Lindmeier, & Heinze, 2016).

Pidän II periodissa jälleen aineenopettajaopiskelijoille suunnatun kurssin ”Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”, jolla tartumme joihinkin tällaisiin tapauksiin. Pyrimme siten vahvistamaan yliopiston matematiikan kurssien ja koulumatematiikan välisiä yhteyksiä. Tarkemmat tiedot tämän syksyn kurssista päivittyvät kurssin kotisivulle. Toivotan kaikki asiasta kiinnostuneet tervetulleiksi!

Viitteet:

Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Dreher, A., Lindmeier, A., & Heinze, A. (2016). Conceptualizing professional content knowledge of secondary teachers taking into account the gap between academic and school mathematics. Proceedings of 40th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Hungary. 219-226.

Even, R., Tirosh, D., & Markovits, Z. (1996). Teacher subject matter knowledge and pedagogical content knowledge: Research and development. Proceedings of the 20th PME International Conference, 1, 119-134.

Koponen, M., Asikainen, M., Viholainen, A., & Hirvonen, P. (2015). Matematiikan opettajankoulutuksen arviointipohjainen kehittäminen. LUMAT, 3(6), 925-947.

Yrjänäinen, S. (2011). “Onks meistä tähän?” : Aineenopettajakoulutus ja opettajaopiskelijan toiminnallisen osaamisen palapeli. Tampere: Tampere University Press.

Vertaispalaute tieteellisen viestinnän kurssilla

Kirjoittaneet Jokke Häsä ja Sini Karppinen.

Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksella pidettiin viime syksynä ensimmäistä kertaa kurssi nimeltä Tieteellinen viestintä matemaatikoille. Kurssin pääasiallisena tarkoituksena on koota yhteen kandidaatin tutkintoon kuuluvat äidinkielen opinnot sekä matematiikan harjoitustyö. Aiempina vuosina vaaditut äidinkielen opinnot on suoritettu melko suppeina kandiseminaarin yhteydessä ja matematiikan harjoitustyön tekemistä on lykätty siihen vaiheeseen, kun pitäisi saada tutkinto kasaan. Tieteellisen viestinnän kurssin yhtenä tarkoituksena onkin saada nämä opinnot suoritetuksi ohjeellisen aikataulun mukaan eli toisena opiskeluvuotena. Lisäksi uuden kurssimuodon tavoitteena on tarjota opiskelijoille aiempaa monipuolisempaa ja tarkoituksenmukaisempaa ohjausta.

Tieteellisen viestinnän kurssiin kuuluu luentoja, kirjallisia töitä ja suullinen esitelmä. Luentojen aiheita ovat matematiikan kirjoittaminen, tiedonhaku, tieto- ja oppikirjallisuus, tiedon visualisointi, akateeminen viittauskäytäntö, suullinen esitystaito ja matematiikan julkaisukulttuuri. Opiskelijat kirjoittavat luennoista oppimispäiväkirjaa. Suoritukseen vaaditaan tämän lisäksi matematiikan harjoitustyö ja siihen valmistava kirjoitelma sekä harjoitustyöhön pohjautuva suullinen esitelmä.

Kirjoitelmassa opiskelija kirjoittaa valitsemansa vanhan laskuharjoitustehtävän ratkaisun hyvällä matemaattisella tyylillä. Myös pieni johdatus tehtävän aiheeseen ja tarvittavien esitietojen esitteleminen kuuluu tehtävänantoon. Matematiikan harjoitustyö tehdään puolestaan yhdestä opettajan laatiman tehtäväpankin tehtävästä. Näiden kirjoitustöiden tarkoituksena on harjoitella siistiä ja selkeää matemaattista esitystapaa kandidaatin tutkielmaa varten. Olemme pyrkineet korostamaan sitä, että matematiikassa ei riitä se, että osaa ratkaista tehtäviä, vaan oma ratkaisu pitää osata kirjoittaa ymmärrettävällä tavalla. Tämä on matemaattista viestintää.

Molempien kirjallisten töiden yhteydessä kurssilla käytetään yhtenä opetusmenetelmänä vertaispalautetta. Ennen työn lopullista palautusta opiskelijat antavat kirjallista palautetta muutamalle satunnaisesti valitulle toverilleen. Tämän jälkeen he voivat vielä parannella omaa työtään ennen kuin se jätetään opettajien arvioitavaksi. Tekninen toteutus hoituu Moodlen Workshop-työkalulla. Lisäksi opiskelijat harjoittelevat myös suullisen palautteen antamista harjoitustyön pohjalta laaditun esitelmän yhteydessä. Tarkoituksena on, että opiskelijat oppivat antamaan ja vastaanottamaan palautetta sekä käyttämään sitä hyödyksi oman työnsä parantamisessa. Lisäksi vertaispalautteen antaminen kannustaa opiskelijoita ylipäätään pohtimaan matemaattisen kirjoitelman laatukriteerejä: mikä tekee toisesta työstä paremman kuin toinen?

Ohjaamme opiskelijoita erilaisten kysymysten avulla antamaan mahdollisimman monipuolista kirjallista palautetta. Strathclyden yliopiston emeritusprofessori David Nicol on tutkinut vertaisarviointia laajalti (ks. viite 1) ja havainnut muun muassa, että opiskelijat pystyvät parantamaan omaa työtään välittömästi annettuaan palautetta, vaikka eivät vielä olisi lukeneet itse saamaansa palautetta. Tämä viittaa siihen, että lukiessaan toistensa töitä he vertaavat näitä automaattisesti omaan työhönsä ja näkevät siinä uusia vahvuuksia ja heikkouksia.

Vertaispalautetta ohjaavien kysymysten tulisi saada opiskelijat arvioimaan työtä mahdollisimman laajasta perspektiivistä, mutta samalla perustelemaan näkemyksensä analyyttisesti. Nicol on tiivistänyt tekemistään havainnoistaan joitakin hyviä käytäntöjä (ks. viite 2), joita pyrimme noudattamaan kurssin tehtävissä. Haasteena on käytäntöjen sovittaminen matematiikan arviointiin.

Harjoitustyön vertaispalautteen antamista on ohjattu esimerkiksi seuraavanlaisella kysymyksellä:

Tehtävän tarkoituksena on kehittää viestintätaitoja eli kykyä ilmaista ajatuksensa ymmärrettävässä muodossa. Kuinka kirjoittaja on mielestäsi tässä onnistunut? Perustele.

Kysymyksellä pyritään siihen, että palautetta antava opiskelija tarkastelee kokonaisuutta tiettyyn rooliin asettuneena.

Jatkossa aiomme edelleen kehittää Tieteellisen viestinnän kurssia, sillä olemme havainneet sen formaatin toimivaksi. Erityisesti haluamme kiinnittää huomiota siihen, että palautteen vertaispalautteen harjoittelu olisi opiskelijoille miellyttävä kokemus ja että he myös hyötyisivät siitä. Kysymme opiskelijoilta heidän mielipidettään palauteharjoituksista sekä sitä, millä tavoin he ovat hyödyntäneet saamaansa tai antamaansa palautetta. Vaikeampaa on pureutua varsinaisiin oppimistuloksiin, mutta analysoituamme tarkemmin tämän syksyn ja kevään kurssin muotoa, tehtyjä kirjallisia töitä sekä niistä annettua palautetta voimme varmasti tehdä joitakin johtopäätöksiä palauteharjoittelun konkreettisista hyödyistä.

Viitteitä:

  1. Nicol, D. (2013). Resituating feedback from the reactive to the proactive. Feedback in higher and professional education: Understanding it and doing it well, 34-49.
  2. Nicol, D. (2014). Guiding principles for peer review: unlocking learners’ evaluative skills. Advances and innovations in university assessment and feedback, 197-224.
  3. Nicol, D. (2011). Developing students’ ability to construct feedback. QAA Scotland, Enhancement Themes.

Ohjaamisen yksitoista käskyä

Kumpulan kampus 2015-16Laitoksellamme on käytössä tehostetun kisällioppimisen menetelmä (Extreme Apprenticeship), jossa opiskelijoiden oma aktiivinen työskentely on keskeisessä roolissa. Opiskelijoiden apuna ovat kisälliohjaajat, jotka ovat hiukan vanhempia ohjaajia.

Ohjaajien tehtävänä on tukea opiskelijoiden omaa ajattelua ja opettaa heille opiskelutaitoja, eikä viedä opiskelijoilta oivaltamisen iloa. Tällainen opettaminen ei ole aivan helppoa etenkin, jos on tottunut ajattelemaan, että hyvä opettaja selittää opiskelijalle asiat juurta jaksain ja tietää vastaukset kaikkiin kysymyksiin. Siksi kisälliohjaajat osallistuvat koulutukseen, joka kestää koko lukuvuoden ajan. Koulutus koostuu viikoittaisista tapaamisista, joissa keskustellaan ohjaamisen pedagogiasta.

Olemme yhdessä ohjaajien kanssa koonneet yhteen ohjeita kisälliohjaajan työhön. Lista on muuttunut vuosien varrella, kun olemme oppineet lisää ohjaamisesta. Tältä ohjeet näyttävät tällä hetkellä:

  1. Kuuntele. Kannusta opiskelijaa puhumaan ja kuuntele, mitä hän sanoo. Anna ohjaustilanteen edetä opiskelijan ehdoilla.
  2. Ohjaa yksilöllisesti. Opiskelijat ovat erilaisia. Toinen saattaa tarvita apua perusasioissa ja kaivata hyvin konkreettisia neuvoja. Toinen taas toivoo vain pientä vinkkiä tehtävään. Pyri selvittämään opiskelijan tarpeet ja ohjaa häntä niiden mukaan.
  3. Anna opiskelijan tehdä ja oivaltaa itse. Tarkoituksena on, että opiskelija työskentelee itse ratkaisun eteen ja ohjaaja on tässä tukena. Ohjaa niin, että opiskelijalla on mahdollisuus omaan oivallukseen.
  4. Kannusta. Opiskelijat saattavat olla hyvin epävarmoja omista taidoistaan ja kokea, että he eivät pärjää. Ole kannustava ja pyri löytämään jotain hyvää opiskelijan työskentelystä.
  5. Ole aktiivinen. Käy tervehtimässä opiskelijoita oma-aloitteisesti. Opiskelijoiden on helpompi kysyä neuvoa, jos ohjaaja on avannut keskustelun.
  6. Jaa huomiosi. Älä anna yhden opiskelijan viedä liikaa aikaa muilta. Toisinaan opiskelijan on hyvä antaa miettiä tehtävää rauhassa itsekseen.
  7. Auta lukemaan kurssimateriaalia. Matemaattisen tekstin lukeminen on opiskelijoille vaikeaa ja he saattavat yrittää käyttää ohjaajaa tietopankkina, mikä ei ole tarkoituksenmukaista. Ohjaajan tulisi opastaa opiskelijoita kurssimateriaalin pariin ja auttaa heitä sen lukemisessa.
  8. Ohjaajan ei tarvitse tietää kaikkea. Hän voi ottaa asioista selvää yhdessä opiskelijan kanssa, jolloin opiskelija saa mallin siitä, kuinka kokeneempi matematiikan opiskelija työskentelee.
  9. Opeta opiskelutaitoja. Ohjauksen tavoitteena ei ole ainoastaan auttaa opiskelijaa ratkaisemaan yksittäistä tehtävää, vaan myös opettaa hänelle, kuinka matemaatikko ryhtyy ratkomaan kohtaamaansa ongelmaa.
  10. Älä ota tunteenpurkauksia henkilökohtaisesti. Suhtaudu opiskelijoiden ongelmiin ja tunteenpurkauksiin myötätuntoisesti ja ymmärtäen, mutta älä jää murehtimaan niitä. Kyse voi pohjimmiltaan olla esimerkiksi opiskelijan epävarmuudesta.
  11. Kannusta yhteistyöhön. Tavoitteena on oppia keskustelemaan matematiikasta. Kannusta opiskelijoita miettimään tehtäviä yhdessä etenkin, jos moni pohtii samaa tehtävää yksinään.

 

 

Matematiikkaa kaikille!

Kirjoittaneet Matematiikka tutuksi -kurssin luennoitsijat Juulia Lahdenperä ja Rami Luisto.

Laitoksellamme on jo pitkään järjestetty Matematiikka tutuksi -nimellä kulkevaa kurssia. Viime syksynä päätimme säilyttää kurssin vanhan nimen, mutta laitoimme sen sisällön puolesta radikaalisti uusiksi. Me luennoitsijat olimme uudesta kurssista enemmän kuin innoissamme; siitä kertonee kurssin epävirallinen runomitallinen kurssikuvaus:

Mi ompi se kurssi jok’ syksyn sarastaess’ hohkaa?
Se Matematiikka Tutuksi on, se meidän uudistuneena kohtaa!
Jos vastauksia kysymyksiis’ halajat;
miten algebra ja salakirjoitus toisiaan vastavajat?
Jos päätäsi kovasti askarruttaa;
miten tilastoilla voi rosmoja jarruttaa?
Etkä pohdinnallasi osaa selvittää,
kuinka neliulotteisen aika-avaruuden geometria pelittää.
Niin juosten kohti kurssiamme nyt riennä!
Ei liian hidas sitä käymään ennä.
Vaikk’et matematiikkaa pääaineenasi luekaan,
tai vaikk’ei aiemmat opintosi alaa tuekaan,
niin älä huoli!
Löytyy meiltä sinullekin tuoli.

Tavoitteenamme oli laajentaa opiskelijoiden käsitystä matematiikasta antamalla välähdyksenomaisia esimerkkejä korkeamman matematiikan ilmiöistä ja sovellutuksista. Lisäksi halusimme esitellä matematiikan filosofista ja luovaa puolta, sekä antaa tilaa niille pohdinnoille, joille ei perinteisten luentokurssien puitteissa ole aikaa. Kurssi suunnattiin pääaineeseen katsomatta kaikille matematiikan kauneudesta ja arkipäivän sovelluksista kiinnostuneille opiskelijoille, eikä kurssille ollut esitietovaatimuksia.

KURSSIN TOTEUTUS

Kurssi kesti seitsemän viikkoa, ja joka viikolla oli oma teemansa. Jokaisen viikkoteeman puitteissa käsiteltiin johonkin tiettyyn matematiikan alaan liittyviä jännittäviä näkökulmia ja ilmiöitä. (Kurssipalautteen mukaan ehdottomasti suosituin viikkoteema oli salakirjoitus!) Kurssi koostui viikoittaisista luennoista ja pienryhmätapaamisista. Luennot toteutettiin dialogiopetuksena kahden luennoitsijan voimin. Tavoitteena oli matemaattisen sisällön ohella esitellä matemaatikoiden ajattelua ja työskentelyä luennoitsijoiden vuorovaikutuksen kautta.

Kurssin opiskelijoiden taustojen laajuus oli ennakkoon tiedossa. Tästä syystä luentojen lähtökohtana oli se, ettei kaikkien opiskelijoiden tarvitse ymmärtää kaikkea – kunhan jokainen ymmärtäisi ainakin jotain, ja myös edistyneemmille opiskelijoille tarjottaisiin kiinnostavia näköaloja. Luennoitsijoina halusimme jättää opiskelijoille myös ihmetyksen tunteita: se, ettei tajuakaan kaikkea, voi olla hyvinkin positiivinen kokemus. Kurssin pienryhmien motivaattorina toimi lausahdus “Mennään Heurekaan!”. Kurssilla ei siis ollut perinteisiä viikoittaisia kotona tehtäviä laskuharjoituksia, vaan pienryhmään tultiin pohtimaan viikkoteemaan liittyviä enemmän tai vähemmän konkreettisia kysymyksiä. Pienryhmien ohjaajina toimivat Opiskelijalähtöinen ohjaaminen -kurssin opiskelijat.

KURSSIPALAUTE

Keräämämme kurssipalautteen (N=72) mukaan kurssi oli kokonaisuudessaan hyvin suosittu. Luultavasti on kuitenkin helpompaa seurata matemaattisia keskusteluja kuin osallistua niihin aktiivisesti itse: opiskelijoiden mielestä luennoille (KA 4,54/5) oli keskimäärin pienryhmiä (KA 3,89/5) mukavampi tulla. Tulokset on esitetty alla olevissa taulukoissa:

luennoilleolimukavatullapienryhmiinolimukavatullaKahden luennoitsijan malli otettiin uuden uutukaisuudessaan (tai siitä huolimatta) erinomaisesti vastaan. Opiskelijat pitivät kyseistä mallia kurssille erinomaisesti sopivana: väittämä “Kaksi luennoitsijaa toi kurssille lisäarvoa” sai keskiarvoksi 4,42/5.

kaksiluennoitsijaatoikurssillelisaarvoaSaamassamme palautteessa kommentoitiin luentoja mm. seuraavasti:

“Mielenkiintoisia, tosin raapaisunomaisia. Välillä ei tiennyt, oliko kyseessä komedia vai tragedia, mutta viikon viihdepläjäys ainakin :)”

“Erittäin hyviä, erityisesti johdantona syvempään matematiikkaan. Täysin ymmärrettäviä, mutta opettavaisia ja mieltä avartavia.”

“Rento, mutta asiantunteva ote luennoitsijoilla. Mukavan jutusteleva & epäformaali tyyli. Pidin myös aihevalinnoista.”

Pienryhmienkin osalta palaute oli hyvää:

“Hauskoja puuhatuokioita. Tehtävät vaihdelleet tosi hyvistä tylsiin.”

“Näissä on ollut mukava käydä ja tehdä tehtäviä. Mukavaa tutustua kurssilaisiin vähän rennompien tehtävien parissa. Askartelu on ollut hauskaa ja auttanut ymmärtämään ratkaisuja. Piristää viikkoa, kun on tämmöinen puuhastelulaskari sen aikana.”

“Täydensi luentoja hyvin, ‘jänniä pohdintatehtäviä’.”

Kysyimme kurssipalautteessa myös sitä, muuttuiko opiskelijoiden käsitys matematiikasta kurssin aikana tai sen johdosta. Saadut vastaukset ovat erittäin rohkaisevia! Alla muutamia herkkupaloja:

“Kiehtovaa, mutta ajattelu on työlästä.”

“[Matematiikka on] mielenkiintoisempaa kuin olin kuvitellut, monipuolisempaa. Aiemmin kammoamani aine, tämän kurssin myötä on mielenkiinto hieman herännyt, ei ole enää niin kammottavaa, ehkä jopa hieman kiehtovaa :)”

“[…] En aiemmin ymmärtänyt miten paljon ilmiöitä voidaan ymmärtää ja toisaalta muokata matemaattisin perustein.”

“Ehkä hauskuus oli yllättävintä. En ole koskaan ollut näin hauskoilla matikan tunneilla :D”

Myös opiskelijoiden käsitys matemaatikoista tarvitsi ilmeisesti päivitystä:

“Matemaatikkojen huumori on oikeasti hauskaa…”

“Ehkä eniten minuun on iskenyt matemaatikoiden intohimo ja peräänantamattomuus ongelmien edessä.”

“[…] tyypit on olevinaan humanisteja, kunnes :D”

“Matemaatikot ovat persoonallisia ja osa huijareita.”

“Nyt on nähty että matemaatikot osaavat puhua myös ihmisten kieltä.”

POHDINTAA

Luennoitsijoiden näkökulmasta kurssi oli siitä poikkeuksellinen, että se antoi vapauden käsitellä laaja-alaisesti erilaisia mielenkiintoisia matemaattisia ilmiöitä isosta kokonaisuudesta välittämättä. Kurssi saattoi kuitenkin olla opiskelijoiden näkökulmasta haastava, sillä aiheet vaihtuivat viikoittain, eikä tukevaa kokonaisuutta näin ollen muodostunut. Olisi mielenkiintoista kokeilla kurssia myös tyylillä, jossa syvennyttäisiin ainoastaan yhden matematiikan osa-alueen populaareihin ilmiöihin.

Dialogiopetus itsessään oli erittäin kiinnostava kokemus. Kunhan yhdessä luennoimisen ideaan pääsi sisään, se vähensi jännitystä ja stressiä; mikäli oma ajatus katkesi, toinen pystyi jatkamaan juttua uusiin enemmän tai vähemmän tangentiaalisiin suuntiin. Tämä mahdollisti matemaattisten kysymysten käsittelemisen vapautuneesti ja kokeilevasti, joka osaltaan erinomaisesti tuki kurssin tavoitteiden toteutumista.

Kurssin opiskelijat olivat pääosin kumpulalaisia sivuaineopiskelijoita. Tätä tilastoa haluaisimme parantaa tulevina vuosina. Muiden kampusten opiskelijat, erityisesti he, jotka eivät perinteisesti opiskele matematiikkaa sivuaineenaan, tulisi saattaa tietoiseksi tästä kurssista. Kurssin mahdollinen uudelleennimeäminen Matematiikkaa kaikille! -kurssiksi toivottavasti osaltaan kannustaa myös näitä eksokumpulalaisia tulemaan mukaan!

EPILOGI AKA TL;DR

“Noni. Miten meni noin niinku omasta mielestä?”

“Mä tykkäsin.”

“Niin mäkin!

“Ja niin tykkäs muuten opiskelijatkin!“

“… ja pienryhmien ohjaajat!“

“Jep, ei muuta ku ensi vuonna uusiksi!”

The Durham Experience, Part II

In the academic year 2014–2015 I had the privilege to teach a lecture course in Durham University in the United Kingdom. Durham is a rather prestigious university that is very selective in its student intake. In these entries I record some of my thoughts concerning the experience. Although I could only witness the system in Durham, many details can most likely be generalised to other UK universities.

(Read the previous post here.)

View of Durham

Lecturing Algebra II

Despite its name, Algebra II is the first course in abstract algebra offered in Durham. It is a second-year course, spanning the whole academic year. Compared to courses taught for example in Helsinki, the course covers roughly the material for a basic one-term algebra course plus a slightly shorter and more advanced course. The course had about 170 students.

I was eager to face the challenge of teaching a full-fledged lecture course in a new country. Having taught algebra before, I knew it to be a difficult topic that demands a lot of abstract thinking and becoming familiar with many new concepts. My colleagues in Durham had also warned me that it would be very difficult to get the students to appreciate how much and what kind of work they would have to do in order to learn the material effectively.

While I was planning my course, it soon became clear to me that to encourage the students to work in an effective manner for their own learning, I should implement methods that in the University of Helsinki go under the name “Extreme Apprenticeship Model”. This model has been applied to teaching certain mathematics undergraduate courses in the Department of Mathematics and Statistics since 2011. After its introduction, the model has enjoyed great success. In particular, it has been successful in engaging the students, teaching them good, professional-style studying habits, as well as making them more committed to their studies in the department.

It was, however, impossible for me to run a full-fledged Extreme Apprenticeship course since I had much less control over the teaching resources than is usual in Finland. Therefore I needed to adapt my teaching to a new environment. In such cases I find it useful to consider the motivations behind the practices in order to decide what is essential and what is not. Doing so, I found that I wanted to focus on

  1. Improving the students’ working habits.
  2. Enabling strong bi-directional feedback that would allow the students to know what is expected from them and the teaching to be guided by the students’ needs.
  3. Teaching abstract thinking and communicating these thoughts in speaking and writing.

Considering these points led me to implement roughly the following set of methods:

  • a form of flipped learning, in which the students would work individually for their own learning, and the lectures are used to solidify the students’ knowledge, build a general picture, weed out misconceptions, and discuss effective study methods
  • course notes designed for the students to be able to read and understand to a great extent by themselves
  • detailed descriptions of learning objectives and self-evaluation exercises based on them
  • weekly meetings with homework markers to ensure they would know what I require of the students, and that I would find out how the students are doing
  • the possibility of resubmitting certain homework questions in order to employ the markers’ comments if the first solution was not good enough
  • activating the students during the lectures with small group tasks, questions, and polling exercises
  • activating conceptual thinking through tasks that would require explaining, connecting and evaluating.

In short, the course ran in the following way. First, the students were given typed, well-prepared notes. They familiarised themselves with new concepts through simple homework problems. They would hand in the problems to be marked. Once the markers had had a few days to look at the scripts, we would meet together to discuss what the students had come up with. Then the markers would go back to finish the marking, while I would discuss the most common mistakes and important misconceptions in the lectures. I would use online voting systems in the lectures to help gauge the students’ learning pace and to promote meaningful discussions. The lectures would also progress to deeper theory and examples, and the next week’s homework would – in addition to preparatory material – also contain harder problems on topics that were discussed during the week.

Feedback flowchart of Algebra II

Running Algebra II. The arrows between boxes of different colour indicate the flow of information or feedback. The double arrows ML and SL symbolise bi-directional feedback between markers and lecturer and between students and lecturer.

There were two types of questions in the homework. Most of the questions were marked based on honest attempt whether the answer was right or wrong. For these questions, the markers were not required to comment anything if they did not have time for it. The students could later compare their solutions to the model solutions. On the other hand, a few questions were more substantial, usually requiring a written proof. These questions were marked based on the quality of the answer – not only of the mathematical correctness, but also the quality of writing. It the solution was not adequate in the first week, the student was encouraged to resubmit the question the following week and would receive the marks after the resubmission.

In applying the above methods, I faced several challenges. As already mentioned in my previous post, the lecture system in Durham is very rigid. My lecturing hours (twice 50 minutes a week plus a fortnightly “problems class”), as well as tutorials (50 minutes per a 15 person group fortnightly) were all prescribed to me. Also the teaching assistants giving the tutorials and marking the homework (mostly separate people, to my surprise) were decided for me. One major difference with Extreme Apprenticeship method in Helsinki was that I could not provide the students with a drop-in workshop with instructors that would always be present. Another challenge was that the other teachers in Durham that I got into contact with had very little experience about any of the methods I was going to apply, so I could not count on their advice as much as I was used to in Helsinki.

The biggest obstacle, however, was that the students were in general unaccustomed to anything else than the traditional teaching style where the lecturer writes on the blackboard and students take notes, which they then later refer back to when doing their homework. This limited background, of which I only learned gradually when I was already teaching the course, created a lot of mental opposition towards my teaching right from the start of the course. Of course, I was prepared to explain any new methods I would be using, so that the students would be aware of what was expected from them and how they would benefit from the diverse exercises, but in Durham I felt I was required to explain myself much more than usual. There was a constant need to reassure the students of the fact that they were indeed learning the necessary skills even when they did not recognise the “unconventional” methods we were using.

Despite initial misgivings, the students gradually learned to work in the new way, some quicker, some at a slower pace. However, student feedback questionnaires half-way through and at the end of the course show that the students were not in general happy with the lectures, saying that these were useless and not teaching them anything. Being inefficient is a well-known problem of mass lectures, and the amount of negative feedback on this aspect seems only to indicate that the students have not previously recognised this inefficiency. On the other hand, the prepared course notes received a lot of positive feedback. It seems to be very rare in Durham that the students would be given such complete sets of notes.

During the course, I observed the students closely in order to spot any learning difficulties resulting from the change in teaching style. Some individuals indeed claimed that they were facing serious difficulties, but on the whole I could see no significant indication that anything would be going wrong. Even if the students complained, they were still clearly learning. Their results in the final exam were as good as would be expected from such a course in general.

While one might not experience any obvious adverse effects from the different kind of teaching, it would be good to know whether my efforts actually made a difference in the end. From the teacher’s point of view, I certainly felt that I was spending my time much more meaningfully than I would have using a more traditional style, and that kept me highly motivated throughout the year. Many students also changed their minds about my methods and gave me praise in private emails and conversations. One student said that I had taught him to write proofs, and claimed that this had helped him in the exams also on other courses. Some physics students thanked me for giving examples of physical applications and for teaching not only the content but also the method of studying mathematics. Another student, who had originally despised my lecturing style, thanked me in the end, saying that during the course he had realised the value of his own work and that this was the most important thing he had learned from the course.

The last mentioned comments show that the methods I employed were about so much more than straightforward delivery of definitions and theorems. The students were taught to read and write mathematics on their own and construct their personal understanding instead of simply memorising results and methods. Although this kind of instruction may be unusual to see in the Durham maths community, I trust that my example shows that, if found valuable, it is fully possible to implement.

Extreme Apprenticeship

Since 2011 we have been using the Extreme Apprenticeship method in teaching first year mathematics in the University of Helsinki. The core idea of Extreme Apprenticeship is to support students in becoming experts in their field by having them participate in activities that resemble those of professionals. The main method of teaching is one-on-one instruction, and the students are encouraged to work collaboratively. During the past few years, Extreme Apprenticeship has changed the way the teaching staff and students in our department view learning and teaching.

Extreme Apprenticeship promotes active engagement of the students. Each week, the students start studying a new topic by solving problems given by the teacher. They get as much help as they need from the teaching assistants.

yhteistyoJaLuokka

The teaching assistants do not give answers but guide the students towards solution. They help the students in reading course literature and gaining studying skills. The teaching assistants are undergraduate or graduate students who undergo a training that lasts throughout the semester. Training is important, as teaching in a new way can be very challenging.

The physical learning environment we have created in the middle of our department is an important part of the Extreme Apprenticeship method. It encourages the students to collaborate with each other and interact with the teaching assistants.

ohjausAnnaleena

The students hand in their solutions so that the teaching assistants can read them and give feedback. Emphasis is on learning how to write mathematics, which is very difficult for most students. If the solution is not good enough, the student has an opportunity to improve it. The feedback is two-directional: by reading the students’ answers, the teachers get to know what kind of problems the students have and can react accordingly when planning the tasks and lectures.

tarkistus

After the students have worked on the course assignments, there are lectures. The students have already familiarised themselves with the topic of the lectures by doing the tasks. This is a simple and effective way of making the students prepare for the lectures. The lectures are not for delivering content or going through details. Instead, it is possible to discuss the meaning and consequences of definitions and to address misconceptions. The students do not need to just sit and listen, but they get to work in pairs, discuss with each other and vote on questions posed by the lecturer.

luento

After the lectures, students are given more challenging tasks concerning the topics that have been discussed in the lectures. At the same time, studying a new topic starts with relatively easy tasks.

Compared to traditional teaching, Extreme Apprenticeship has increased student engagement and effort. It has enabled moving from rote learning towards conceptual understanding. Even though the students have to work hard, the feedback from them has been overwhelmingly positive. All in all, the method has had a considerable impact on the atmosphere of our department. The corridors and classrooms are filled with students who solve problems together and talk about maths with excitement and enthusiasm.

XA

Read more:

Rämö, J., Oinonen, L., & Vikberg, T. (2015, February). Extreme Appreticeship – Emphasising conceptual understanding in undergraduate mathematics. Paper presented at the 9th Congress of European research of mathematics education, Prague, Czech Republic.

Rämö, J. & Vikberg, T. (2014). Extreme Apprenticeship – Engaging undergraduate students on a mathematics course. In Proceedings of the Frontiers in Mathematics and Science Education Research Conference 1-3 May 2014, Famagusta, North Cyprus (pp. 26-33).

Hautala, T., Romu, T., Rämö, J. & Vikberg, T. (2012). Extreme apprenticeship method in teaching university-level mathematics. In Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education, ICME.