Greetings from CERME11 conference

By Jokke Häsä and Juuso Nieminen

Domkerk interior

Preparing for the opening ceremony in the Domkerk

In the beginning of February, the 11th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME11) was held in Utrecht, Holland. There were two representatives from our department, myself and Juuso Nieminen, and a few more from the Department of Education.

It was quite a surprise to find that the main conference venue was St. Martin’s Cathedral! As grandiose as the premises were, it was rather cold inside and from time to time it was difficult to hear the keynote speakers because of the echo. However, it was an amazing experience, and fortunately all the small group presentations were held in different locations throughout the beautiful small city.

CERME has a very inclusive reputation, and there were around 900 participants from all fields of mathematics education. The conference has been expanding rapidly during the last couple of years. The participants were divided into so-called Thematic Working Groups (TWGs), and everyone stayed with their group throughout the conference.

Pub cat

The pub cat at Oudaen restaurant and brewery

Juuso and I gave presentations in different TWGs. The theme in my group was assessment. We discussed, for example, the growing role of automatic assessment, validity questions of national examinations and the need for more articulated theoretical frameworks for formative assessment in mathematics. Juuso was in the diversity group, where mathematics education was placed in the wider context of culture, society and the political. The TWG especially addressed teaching mathematics to a diversity of students, taking into account the social and cultural aspects.

Conference dinner

Conference dinner was held in the Railway Museum

My presentation (written together with Johanna Rämö and Viivi Virtanen) dealt with validity issues concerning the new digital self-assessment model (DISA) used, for example, in our linear algebra courses. Juuso talked about Universal Design in the context of mathematics; it is a framework for building learning environments to address the needs of student diversity. This frame is often used in relation to learning disabilities. Both papers will appear in the conference proceedings shortly.

The conference paraded a very enjoyable and inclusive collegial atmosphere. It was a huge pleasure to meet old colleagues and make new acquaintances, discussing everything about mathematics education from policy making and cultural impacts to everyday classroom activities and decisions. And all in the wonderful city of Utrecht, by the cathedral and canals and the slowly emerging spring.

Read more: CERME11 in the TUHAT database

 

Tehostettu kisällioppiminen

Kirjoittajat: Johanna Rämö, Jokke Häsä

Kisällioppimisessa pääosassa on opiskelijoiden työskentely, johon he saavat henkilökohtaista ohjausta. Opiskelijat oppivat taitoja, joita tarvitaan myöhemmillä kursseilla ja työelämässä. Matematiikan opiskelijat pääsevät työskentelemään heti alusta alkaen samaan tapaan kuin matemaatikot: ratkomaan ongelmia, keskustelemaan niistä toisten kanssa, etsimään tietoa ja kirjoittamaan todistuksia hyvän matemaattisen käytännön mukaisesti. Tällä tavalla he pääsevät välittömästi matemaatikkoyhteisön jäseniksi. Opetus koostuu harjoitustehtävistä, ohjauksesta sekä luennoista.

Uuden asian opiskelu alkaa tekemällä laskuharjoitustehtäviä yhdessä toisten opiskelijoiden kanssa. Tehtävien ratkaisemiseksi opiskelijoiden täytyy tutustua kurssimateriaaliin ja harjoitella siten matematiikan lukemista. Tehtävien ratkaisemisessa ja materiaalin lukemisessa auttavat ohjaajat, jotka päivystävät osaston oppimisympäristössä joka päivä.

Opiskelijat ja ohjaajat työskentelevät varta vasten suunnitellussa oppimisympäristössä, joka sijaitsee matematiikan ja tilastotieteen osaston pääkäytävällä. Ohjaajilla on päällään kirkasväriset liivit, jotta opiskelijoilla olisi matala kynnys ryhtyä keskustelemaan ohjaajan kanssa.

Ohjaajen tehtävänä on johdattaa opiskelija kohti ahaa-elämystä. He keskustelevat opiskelijan kanssa ja antavat hänen selittää omia ajatuksiaan. Näin opiskelijan kommunikaatiotaidot kehittyvät. Toisaalta ohjaajat auttavat opiskelijaa kartuttamaan opiskelutaitojaan kuten vaikkapa matematiikan lukemista ja tiedon etsimistä materiaaleista. Ohjaajat ovat vanhempia matematiikan opiskelijoita ja he saavat tukea työhönsä viikoittaisissa pedagogisissa tapaamisissa.

Työskentelyn jälkeen opiskelijat palauttavat viikoittaiset harjoitustehtävät kirjallisesti. Ohjaajat tarkistavat osan tehtävistä ja antavat niistä palautetta. Opiskelijoilla on sen jälkeen mahdollisuus korjata ratkaisujaan palautteen perusteella. Tällä tavoin opiskelijat saavat jatkuvaa palautetta osaamisestaan, ja he pääsevät harjoittelemaan matemaattisten todistusten kirjoittamista vähitellen. Kurssin opettajat puolestaan saavat tietää, mitä opiskelijat osaavat, ja voivat reagoida siihen opetuksessa.

Lopuksi, kun uusiin aiheisiin on tutustuttu tehtävien avulla, niitä käsitellään luennolla. Tehtäviä tekemällä opiskelijat ovat perehtyneet luentojen aiheisiin etukäteen, joten luennot voidaan käyttää asiayhteyksien valottamiseeen ja epäselviksi jääneiden asioiden käsittelyyn. Luennoilla voidaan keskittyä sellaisiin asioihin, jotka eivät välttämättä avaudu kurssimateriaalia lukemalla. Luennoitsija mallintaa esimerkkien avulla matemaatikon ajattelutapaa.

Luennoilla harjoitellaan myös matemaattista kommunikointia. Opiskelijoilla on aktiivinen rooli luennon etenemisessä ja he pääsevät keskustelemaan luennon aihepiireistä vierustoverinsa kanssa. Luennoitsija ohjaa keskustelua ja pitää huolen, että ilmapiiri on turvallinen ja salliva.

Luennon jälkeen opiskelijoilla on syventynyt käsitys opeteltavasta asiasta, ja he saavat seuraavalle viikolle haastavampia tehtäviä. Samalla aloitetaan myös uusiin aiheisiin tutustuminen valmistelevien tehtävien avulla. Näin oppimissykli toistuu viikosta toiseen.

Tutkimusten mukaan tehostetun kisällioppimisen menetelmä tukee opiskelijoiden oppimista ja lisää heidän aktiivisuuttaan (Rämö et al., 2015). Kisällioppimisella on myös myönteinen vaikutus opiskelijoiden opiskelustrategioihin ja matemaattisen pystyvyyden kokemukseen (Lahdenperä et al., 2018).

Kirjoitus on julkaistu alun perin Matematiikan opetuksen tutkimusryhmän sivuilla.
Kuvat: Veikko Somerpuro ja Susanna Oksanen

Lue lisää:

Lahdenperä, J., Postareff, L., & Rämö, J. (2018). Supporting quality of learning in university mathematics: a comparison of two instructional designs. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 1–22.

Rämö, J., Oinonen., L., & Vikberg, T. (2015). Extreme Apprenticeship – Emphasising Conceptual Understanding in Undergraduate Mathematics. In K. Krainer, & N. Vondrová (Eds.), Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2242–2248).

Vikberg, T., Oinonen, L. & Rämö, J. (2015). Tehostettu kisällioppiminen matematiikan yliopisto-opetuksessaYliopistopedagogiikka, 22(1), 36-39.

Kaikille avoin verkkokurssi Matematiikkaa kaikkialla

Kuinka matemaatikko voi auttaa puhekykynsä menettänyttä lasta? Kuinka lasketaan yhteen kaksi valokuvaa? Miten matemaatikko selvittää tappajabakteerin esivanhemmat?

Matematiikkaa kaikkialla on uusi kaikille avoin matematiikan verkkokurssi. Kurssilla tutustutaan matematiikan sovelluksiin ja sekä yliopistomatematiikan eri osa-alueisiin. Kurssilla harjoitellaan myös matemaattisista aiheista keskustelemista ja ongelmanratkaisua yhteistyössä toisten opiskelijoiden kanssa.

Kurssi soveltuu lukiolaisille ja antaa heille tilaisuuden aloittaa yliopisto-opinnot joustavasti. Opettajat puolestaan voivat ottaa kurssilta ideoita omaan opetukseensa. Kurssi antaa eväitä vaikkapa ilmiöpohjaisen opetuksen kehittämiseen kouluissa.

Kurssi alkaa seuraavan kerran 4.2. Kurssille osallistutaan MOOC-ympäristössä osoitteessa https://mooc.helsinki.fi/. Kurssi koostuu kolmesta osasta, joista voi halutessaan suorittaa vain osan.

Lisätietoa:

Kevään 2019 kurssi
Helsingin yliopiston uutinen kurssista
Syksyn 2018 kurssi

Kuvat: Samuli Siltanen, Veikko Somerpuro

Voivatko opiskelijat antaa omat arvosanansa?

Olen nyt jo muutaman vuoden ajan antanut algebran kurssin opiskelijoideni määrätä arvosanansa itse. Kyseessä on maisterivaiheen kurssi, joka on yhden lukukauden mittainen ja jolla on noin 20 opiskelijaa vuosittain. Kurssin järjestelyt eivät ole muutenkaan aivan tavalliset, sillä kurssilla esimerkiksi ole lainkaan luentoja. Näistä voi lukea lisää toisesta blogikirjoituksestani sekä kurssin Moodle-alueelta. Kurssijärjestelyt on kehitetty yhdessä Jokke Häsän kanssa.

Kurssilla käytetyn itsearvioinnin tarkoituksena on saada opiskelijat pohtimaan omaa oppimistaan. Kurssin tavoitteet on kirjattu oppimistavoitematriisiksi, jossa on listattu eri arvosanoja vastaavat taidot niin matemaattisten aihealueiden kuin yleisten taitojen kuten kommunikoinnin ja kirjoittamisen osalta. Opiskelijat harjoittelevat omien taitojensa arviointia koko kurssin ajan tekemällä itsearviointiharjoituksia, joissa he määrittävät oman osaamisensa kunkin aihealueen kohdalla ja kirjoittavat siihen liittyviä pohdintoja ja perusteluja.

Itsearvioinnin tukena ovat kurssin tehtävistä saatu palaute, jota opiskelijat saavat minulta ja kurssitovereiltaan. Lisäksi kukin opiskelija pääsee keskustelemaan omasta osaamisestaan kahden kesken kanssani kurssin puolivälissä. Koska olen viikoittain tiiviisti tekemisissä opiskelijoiden kanssa ja puhun heidän kanssaan kurssin aihepiireistä, on minulla melko hyvä käsitys kunkin opiskelijan taidoista. Sen ansiosta pystyn antamaan opiskelijoille palautetta heidän itsearvioinneistaan.

Kurssin lopussa on varsinainen arviointikeskustelu, jossa opiskelija määrää oman lopullisen arvosanansa. Jos arvosana on riittävän hyvin linjassa opiskelijan tekemän työn kanssa, hän saa itselleen antamansa arvosanan. Muussa tapauksessa keskustelen opiskelijan kanssa asiasta tarkemmin.

Äkkiseltään voisi kuvitella, että itsearviointi saisi kaikki opiskelijat antamaan itselleen hyviä arvosanoja. Näin ei kuitenkaan ole, ja välillä opiskelijoita saa jopa kannustaa antamaan itselleen korkeampia arvosanoja. Joissakin harvoissa tapauksissa opiskelijan arvio omasta osaamisestaan on ollut huomattavasti korkeampi kuin minun arvioni. Tällaisissa tapauksissa minulla on yleensä ollut hyvin vähän vuorovaikutusta opiskelijan kanssa, mikä on tehnyt opiskelijan taitojen arvioinnista vaikeaa. Jotta tällaisia tilanteita ei pääsisi syntymään, olen tänä keväänä muuttanut kurssijärjestelyjä. Opiskelijoiden pitää nykyään palauttaa kaikki tekemänsä tehtävät ja olla läsnä kurssitapaamisissa. Lisäksi he palauttavat kurssin aikana kirjallisesti useita itsearviointeja. Näin tiedän paremmin, mitä opiskelijoilleni kuuluu.

Kurssin opettaminen on todella antoisaa ja palkitsevaa, sillä opiskelijat pystyvät itsearvioinnin ja kokeen puuttumisen ansiosta keskittymään asioiden ymmärtämiseen ja opiskelemaan itseään varten. Lisäksi on hienoa, että voin ottaa kurssin arvioinnissa ottaa myös yleiset taidot. Nämä näkökulmat näkyvät myös opiskelijoiden palautteissa:

“Nyt en panostanut ollenkaan asioiden ulkoa osaamiseen, vaan vain niiden ymmärtämiseen, jotta tulevaisuudessa tarpeen tullen sitten niitä voi käyttää/oppia nopeasti uudelleen.”

“[…] Luulen kuitenkin, että kurssilla ei ollut bulimiaoppimista. Muistan sisällöt paremmin.”

“[…] tentissä onnistuminen ei ole kiinni vain siitä, että kuinka hyvin siihen on valmistautunut. Joinakin päivinä keskittyminen on vaikeampaa kuin toisina päivinä. Tällaisella kurssilla […] lopullinen arvosana ei ole kiinni niin paljon vain yhdestä suorituskerrasta, vaan jokainen laadittu ratkaisuehdotus ja myös arviointikeskustelut ovat yksittäisiä suorituksia, jotka vaikuttavat lopulliseen arvosanaan.“

“[…] tentti testaa vain asiaosaamista, mutta arviointikeskustelussa punnitaan myös muuta osaamista.”

Seuraava tavoitteemme on siirtää itsearviointimalli suuremmille kursseille. Olemme muokanneet mallia ja testanneet sitä ensimmäisen vuoden lineaarialgebran kurssilla, jolla oli 400 opiskelijaa. Tulokset ovat lupaavia, ja niistä voi lukea täältä sekä tulevista blogikirjoituksista.

Lue lisää:

Tuohilampi L., Rämö, J., Häsä, J., & Pekkarinen, E. (2017). Tiedonsiirrosta tiedon yhteiseen omistamiseen ja rakentamiseen – autonomian tukeminen Helsingin yliopiston matematiikan kurssikokeilussa. Toiveet ja todellisuus – kasvatus osallisuutta ja oppimista rakentamassa. Toom, A., Rautiainen, M. & Tähtinen, J. (toim.). Turku: FERA Suomen kasvatustieteellinen seura.

Nieminen, J. H., Häsä, J., Rämö, J. & Tuohilampi, L. (2018). Replacing exam with self-assessment: Reflection-centred learning environment as a tool to promote deep learning. Proceedings of the 20th Meeting of the MAA Special Interest Group on Research in Undergraduate Mathematics Education. San Diego: RUME.

Tuohilampi, L., Nieminen, J. H., Häsä, J. & Rämö, J., (2018). The interplay of informative assessment criteria and continuous feedback with mathematics students’ learning orientations. Proceedings of the 42nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education.

 

 

Ongelmalähtöistä oppimista matematiikan aineenopettajakoulutuksessa

Olen muutaman viime vuoden aikana pitänyt kurssia, jonka otsikkona on ollut “Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”. Kurssin sisällöllisistä ajatuksista voit lukea aiemmasta blogitekstistäni. Kurssilla keskeiseksi työskentelytavaksi on muotoutunut ongelmalähtöinen oppiminen (problem-based learning, PBL) ja sen sukulainen case-oppiminen (case-based learning). Yksi minua kurssin opettajana ja aihetta liipaten väitöskirjaa tekevänä tutkijana kiinnostava kysymys on, miten opettajaopiskelijat kokevat tällaiset työskentelymuodot matematiikan aineenopettajakoulutuksessa. Kerron tässä kirjoituksessa lyhyesti näistä työskentelymuodoista ja nostan esiin muutamia teemoja kursseille osallistuneiden opiskelijoiden kokemuksista työskentelytapojen vahvuuksista ja haasteista.

Ongelmalähtöisen oppimisen juuret ovat lääketieteen opetuksessa; jo 1960- ja 1970-lukujen taitteessa Pohjois-Amerikassa lääketieteelliset tiedekunnat ryhtyivät järjestämään opetusta niin, että opiskelijat ratkoivat koulutuksessaan sellaisia tosielämän ongelmia, joita tulisivat kohtaamaan myös työelämässä. Ajatuksena oli, että tällaisten ongelmien ratkaisemisessa kehittyy substanssiosaamisen lisäksi tärkeät geneeriset taidot kuten tiedonhaku ja ryhmätyöskentely. Ongelmalähtöinen oppiminen pitää sisällään useita lähestymistapoja, mutta tyypillisimmin se etenee niin, että opiskelijaryhmä (esim. 4-6 henkilöä) saa eteensä virikeaineiston, jonka pohjalta he määrittävät tavoitteet itsenäiselle opiskelulleen. Virikeaineistot kuvaavat tyypillisesti jonkin tosielämän ongelman (kuten jokin matematiikkaan ja/tai sen opettamiseen liittyvä haastava kohta), mutta ovat avoimia siinä mielessä, että niitä voi tarkastella ja “ratkoa” useasta eri näkökulmasta. Opiskelijaryhmät kokoavat prosessin aikana aiheeseen liittyvää tietoaan ja lopuksi kerätyistä tiedoista muodostetaan synteesi, joka tyypillisesti myös esitellään muille pienryhmille.

Case-oppimisessa keskitytään ongelmalähtöisen oppimisen tapaan tosielämään liittyviin ongelmiin, mutta prosessi on tyypillisesti lyhyempi: opettaja voi esimerkiksi alustaa aiheeseen liittyvällä teorialla, jolloin virikeaineisto on ikään kuin esimerkki, johon aiemmin käsiteltyä asiaa sovelletaan. Tämä prosessi on myös hieman suljetumpi ja ohjatumpi: opettaja voi halutessaan päättää tarkemmin niistä näkökulmista ja sisällöistä, joita hän ehdottomasti haluaa käsiteltävän. Tällaiseen case-oppimiseen ei tyypillisesti sisälly opiskelijoiden laajaa itsenäistä tiedonhakua, mutta toisaalta tällaisessa työskentelymuodossa on mahdollista ongelmalähtöisen oppimisen tapaan kytkeä substanssi työelämän kontekstiin ja toisaalta keskustella vapaamuotoisesti aiheeseen liittyvistä eri näkökulmista.

Tällaisia lähestymistapoja käytettäessä kurssipalautteessa on toistunut usein samat teemat. Vahvuutena tällaisissa työskentelytavoissa on nähty erityisesti mahdollisuus vapaamuotoiseen keskusteluun, pienryhmässä toimiminen ja oppimisen autonomisuus. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta hyvin nämä yleisemminkin työskentelytavan vahvuuksina koetut puolet:

“Jokainen ryhmä tulkitsi ongelmat eri tavalla, minkä vuoksi monia mielenkiintoisia näkökulmia nousi esille. Työskentely antoi vapaat kädet selvittää asiaa omalla tavalla, mikä lisäsi motivaatiota. Ryhmämme toimi erittäin hyvin yhteen, mikä korostaa tällaisen työskentelyn erinomaisuutta. Keskustelut pienissä ryhmissä olivat todella hyviä!

Toisaalta ongelmalähtöinen oppiminen on koettu osittain työläänä ja vaikeana. Lisäksi avoimet ongelmat voivat helposti johtaa sellaisten näkökulmien tarkastelulle, jotka eivät ole täysin linjassa kurssin oppimistavoitteiden kanssa. Lisäksi ryhmätyöskentely tuo usein mukanaan ryhmädynamiikkaan liittyviä ongelmia, joille opettajan on minusta tärkeä olla herkkänä. Eräässä kurssipalautteessa tiivistyi minusta todella hyvin näitä yleisesti haastavina koettuja puolia:

“PBL-projektien vapaa kulkusuunta tuo mukanaan riskinsä. Työskentely ei välttämättä kulje kurssin tavoitteiden suuntaan. Lisäksi yksi dominoiva henkilö ryhmässä voi ohjata toistuvasti ryhmän työskentelyä omaa näkemystään mukailevaksi […]”

Opettajan on uskoakseni tällaisessa työskentelyssä mietittävä tarkkaan, miten menetelmän käyttöönottoon totutellaan ja miten itsenäistä tiedonhakua ja ryhmätyötä allakoidaan niin, että kurssin työmäärä pysyy opintopistemäärää vastaavana. Erityisen hankalana kysymyksenä olen kokenut sen, miten säilytetään tasapaino sisäistä motivaatiota lisäävän autonomisuuden ja kurssin linjakkuuden välillä. Lisäksi olen usein miettinyt ryhmädynamiikkaan liittyviä haasteita: nämä voivat jäädä usein opettajalta havaitsematta, mutta olen saanut kuulla niistä kurssin aikana kirjallisten itsearviointien kautta, johon olen pyytänyt kirjoittamaan tarvittaessa myös pienryhmän toimintaan liittyviä havaintoja. Tämän vuoksi tuntuu tärkeältä, että kurssin aikana tapahtuu kaksisuuntaista ja “keskustelevaa” palautetta.

Kaiken kaikkiaan opettajan näkökulmasta tällainen lähestymistapa opetukseen on joka tapauksessa todella antoisa: jokaisella kerralla oppii myös itse todella paljon uutta!

”Hurjaa hippimeininkiä!” eli opiskelijat päättämässä oman arvosanansa matematiikan massakurssilla

Otsikon lainaus on peräisin erään opiskelijan viestistä luentochatissa, kun Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I -kurssin aloitusluennolla kerrottiin, että kurssilla ei ole lainkaan tenttiä. Sen sijaan jokainen opiskelija olisi itse vastuussa oman arvosanansa asettamisesta. Siis hetkinen!

Idea itsearvioinnista kurssin arviointimuotona lähti Johanna Rämön aiemmasta kurssikokeilusta, josta voit lukea täältä. Keväällä 2017 idea lähti jalostumaan: kuinka siirtää itsearvioinnin pedagogiikkaa suuremmille massakursseille? Perinteiseen arviointiin liittyy useita ongelmakohtia kuten bulimiaoppiminen ja koestressi. Jokainen yliopistossa opiskellut tunnistaa varmasti tilanteen, jossa tenttikirjapinoa pläräillään viimeisenä iltana ennen koetta paniikissa, päivän kahdeksannen kahvikupin äärellä. Olisiko jonkin toisen arviointimuodon avulla mahdollista päästä loppujen lopuksi jopa parempiin oppimistuloksiin – tai ainakin hieman fiksumpien työskentelymuotojen äärelle?

Kehitimme kurssille Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I oppimisympäristön, jota kutsumme ”reflektiokeskeiseksi”. Sanahirviö kätkee taakseen mitä erilaisimpia arvioinnin ja palautteen muotoja. Kurssilla tarjottiin opiskelijoille palautetta kirjallisesti (palautettavista tehtävistä), automaattisesti (sähköisistä Stack-tehtävistä) sekä epäformaalisti (ohjauksen muodossa). Lisäksi kurssilla harjoiteltiin vertaispalautteen antamista. Ja niin: kurssilla harjoiteltiin kaksi kertaa oman osaamisen itsearviointia, ja kurssin lopuksi jokainen sai asettaa itselleen oman arvosanan. Apuna tässä toimi oppimistavoitematriisi. Itsearvioinneista sai myös sähköistä palautetta, joka kertoi summittaisesti, vastaako opiskelijan oma arvio tietyn oppimistavoitteen suhteen hänen kurssilla tekemiään, tavoitteeseen liittyviä tehtäviä. Kurssin tukikohta toimi Moodlessa – 164 opiskelijaa piti huolen siitä, että ilman sähköistä toteutusta tätä oppimisympäristöä ei olisi voinut toteuttaa!

Mihin tällainen oppimisympäristö sitten johti? Toteutuiko kauhuskenaario ”jokainen antaa itselleen vitosen ja juoksee karkuun”? Ensinnäkin, opiskelijat tekivät vuoden 2016 kurssiin verrattuna paljon enemmän tehtäviä. Positiiviseksi ongelmaksi nousi se, että tehtäviä tehtiin niin paljon, että niiden tarkastajien työtunnit loppuivat kesken! Opiskelijat tekivät tehtäviä myös edellistä vuotta tasaisemmin. Arvosanat sen sijaan eivät jakautuneet tasaisesti: opiskelijat arvioivat itselleen suuria arvosanoja, ja arvosana 5 olikin selvästi yleisin. Arvosanan 5 saaneet opiskelijat tekivät toisaalta tällä kurssilla todella suuren määrän tehtäviä. Kuinka paljon tehtäväpisteiden määrä kertoo oppimisen tasosta verrattuna kurssikokeeseen? Entä kuinka paljon tästä kertoo perinteinen kurssikoe? Näitä kysymyksiä jouduimme käsittelemään hyvin usein kurssikehityksen tiimellyksessä.

Taulukko 1: Kurssin tehtäväpisteet verrattuna edellisen vuoden kesäkurssiin

STACK-tehtävät Paperiset tehtävät
Keskiarvo (%) Keskihajonta Keskiarvo (%) Keskihajonta
Kesä 2016 61,2 34,7 68,0 33,0
Kesä 2017 68,5 32,2 74,6 23,1

Taulukko 2: Pystyvyysusko sekä syvä- ja pintaopiskelun strategiat aineistossa (asteikolla 1–5)

Keräsimme lopullisen itsearvioinnin yhteydessä kurssipalautteen, sillä halusimme aidosti kuunnella opiskelijoiden ääntä uuden kurssimallin kehitystyössä. Avointen vastausten analyysi paljasti, että kokeen poistaminen vähensi stressiä ja rohkaisi opiskelijoita opiskelemaan itseään varten. Opiskelijat kuvasivat vastauksessa vastuun ottamista omasta oppimisestaan. Lisäksi sisäisen motivaation kuvailut nousivat aineistosta esille. Itsearviointi nähtiin hyödyllisenä kurssin osana, joka auttoi hahmottamaan omaa osaamista ja tuki opiskelua. Toisaalta opiskelijat kaipasivat koekertausta. Lisäksi toistuva teema opiskelijoiden vastauksissa oli oppimisympäristön outous: näin autonominen itsearvioinnin kulttuuri ei tosiaankaan ollut opiskelijoille entuudestaan tuttu!

”Tentittömyys on myös poistanut turhaa stressiä, jolloin motivaatio oppimiseen on pysynyt täysin asioiden ymmärtämisessä, ei tenttiarvosanan tavoittelussa.”


Lopulta kyse on siitä, että haluamme muuttaa oppimiskulttuuria kurssilla aivan totutusta päinvastaiseksi. Väitämme, että jos oppimisympäristön halutaan kannustavan syvään oppimiseen ja sisäiseen motivaatioon, niin kaikkien sen elementtien on tuettava tätä tavoitetta aidosti. Kurssin tarkoituksena ei ollut ”liimata” normaalin kurssin päälle itsearviointityökalua, vaan antaa avaimet oppimiseen aidosti opiskelijalle itselleen. Kurssikokeilu asettaakin opiskelijat perustavanlaatuisten kysymysten äärelle. Ketä varten minä opiskelen? Mikä on tavoitteeni kurssin suhteen? Entä motivaationi? Myönnettäköön siis, että erään opiskelijan ”hippimeininki”-kommentti osui naulan kantaan.

Kuinka maisterivaiheen kurssista muodostui matemaatikkojen yhteisö

Olen jo usean vuoden ajan käyttänyt kursseillani uutta opiskelijakeskeistä menetelmää, tehostettua kisällioppimista. Viime aikoinan olen opettanut vain suuria 1. ja 2. vuoden massakursseja, mutta viime keväänä pääsin opettamaan pientä maisteritason kurssia. Sovelsin kurssin opetuksessa tehostetun kisällioppimisen menetelmästä tuttuja elementtejä sekä Peter Liljedahlilta saatuja ideoita Ajattelevasta luokkahuoneesta (Thinking classroom).

Vaikka kokeilin kurssitoteutusta ensimmäistä kertaa, se toimi hämmästyttävän hyvin. Kun opiskelijat oppivat tuntemaan toisensa, syntyi kurssille poikkeuksellinen ilmapiiri. Monesti jäin vain ihmeissäni seuraamaan, kun opiskelijat keskustelivat keskenään kuulostaen ihka oikeilta matemaatikoilta. He yrittivät yhdessä ratkoa ongelmia tuoden keskusteluun omat ideansa ja synnyttäen siten lisää ideoita muissa. Tänä keväänä toteutin kurssin uudelleen tehden opetusmenetelmään pieniä korjauksia.

Opiskelijat harjoittelivat koko kurssin ajan ryhmätyötaitoja tekemällä tehtäviä yhdessä. Kuvassa rakennettavien Platonin kappaleiden symmetriat olivat yksi kurssin suosikkiaiheista toiminnallisuutensa vuoksi.

Kurssin opetus koostui

  • viikkotehtävistä
  • kurssimateriaalista, jota opiskelijat lukivat itsenäisesti
  • tehtävien tekoon ja materiaalin lukemiseen annetusta ohjauksesta
  • ryhmätyöskentelystä
  • oppimistesteistä, joilla opiskelijat arvioivat omaa osaamistaan ja jotka antoivat ohjeita opiskeluun
  • kahdenkeskisestä arviointikeskusteluista opettajan kanssa kurssin puolivälissä ja lopussa.

Kurssialustana toimi Moodle, jonne opiskelijat saattoivat laittaa ratkaisujaan toisten näkyville.

Kunakin viikkona oli kolme kahden tunnin tapaamista. Pääasiassa opiskelijat tekivät tapaamisissa tehtäviä omaa tahtiaan kurssimateriaalin avulla. Ohjasin heitä työskentelemään ryhmissä sen mukaan, mitä tehtävää kukin teki, ja kiertelin keskustelemassa tehtävistä ryhmien kanssa.

Käytin paljon aikaa siihen, että opiskelijat oppisivat tuntemaan toisensa ja heistä olisi luontevaa keskustella yhdessä matematiikasta. Tässä auttoi erityisesti ohjattu ryhmätyöskentely, jossa kaikki opiskelijat työskentelivät 2–3 hengen ryhmissä saman ongelman kimpussa. Yleensä otin ongelmat viikkotehtävien joukosta. Opiskelijat luonnostelivat ajatuksiaan liitutauluille, jolloin lopuksi oli helppo keskustella yhdessä heidän ratkaisuistaan. Tätä varten käytössä oli luokkahuone, jonka seinät olivat täynnä liitutauluja.

Opiskelijat pohtivat tehtäviä yhdessä ja kirjoittivat ajatuksensa taululle. Tällä tavoin niistä oli niistä helppo keskustella yhdessä koko ryhmän kesken.

Kurssilla ei ollut luentoja. Toisinaan saatoin kuitenkin pitää muutaman minuutin yhteisen puheenvuoron kooten vaikkapa yhteen jokin asiakokonaisuuden tai kertoen käsitteiden historiasta.

Joka viikko opiskelijat jaettiin pareiksi, jotka laativat ratkaisuehdotukseen yhteen viikkotehtävään. He kirjoittivat ratkaisun puhtaaksi yhdessä ja esittivät sen sitten muille. Näin harjoiteltiin sekä matematiikan kirjoittamista että siitä puhumista. Parit vaihtuivat viikoittain, jotta opiskelijat saivat työskennellä mahdollisimman monen eri ihmisen kanssa. Arvoin parit opiskelijoiden nähden samoin kuin heille jaettavat tehtävät. (Esimerkiksi korttipakka sopii tähän hyvin. Pakasta voi valita sopivan määrän kortteja ja ne, jotka saavat saman numeron, muodostavat parin.)

Ratkaisuehdotusten tekeminen voi olla opiskelijoille työlästä. Siksi valitsin tähän tarkoitukseen tehtävien joukosta melko helppoja tehtäviä. Jotta työmäärä pysyisi järkevänä, annoin kullekin opiskelijalle ratkaisuntekovuoroja vain joka toiselle viikolle. Muina viikkoina opiskelijat laativat parin virkkeen tiivistelmän jonkin tehtävän ratkaisusta. Näin ote kurssista ei herpaanunut, ja samalla opiskelijat saivat harjoitella ilmaisemaan matemaattisia ideoita ymmärrettävässä ja selkeässä muodossa.

Kurssilla oli viikkotehtävien lisäksi kaksi laajempaa harjoitustehtävää, jotka opiskelijat tekivät itsenäisesti ja joista annoin kirjallista palautetta. Opiskelijat saivat kehittää ratkaisujaan palautteen perusteella.

Kurssipalautteen perusteella opiskelijat pitivät uudesta opetusmuodosta. Suurin osa haluaisi osallistua vastaavalla menetelmällä opetetulle kurssille uudelleen. Tässä vielä joitakin poimintoja opiskelijapalautteesta:

”Mielestäni erittäin hyvä kurssi, toivon että laitokselle ilmestyisi enemmän vastaavanlaisia kursseja.”

”Kurssin muoto on todella mainio ja kannustava.”

”Tämä on loistava tapa opetella matemaattisen tekstin kirjoittamista ja ryhmätyöskentelyä, joten tämän tyylisiä kursseja on hyvä olla muutama tarjolla. Mielestäni näin olisi järkevää korvata pakollisia kieliopintoja.”

”Kiitos kurssista, se oli oikein hauska ja hyödyllinen kokemus, toivottavasti toimintamalli tulee käyttöön joissain muissakin kursseissa!”

Kurssilla ei ollut tenttiä, vaan arvosana määräytyi ohjatulla itsearvioinnilla. Tästä seuraa lisää tietoa myöhemmässä blogitekstissä.

Lue lisää:

Tuohilampi L., Rämö, J., Häsä, J., & Pekkarinen, E. (2017) Tiedonsiirrosta tiedon yhteiseen omistamiseen ja rakentamiseen – autonomian tukeminen Helsingin yliopiston matematiikan kurssikokeilussa. Toiveet ja todellisuus – kasvatus osallisuutta ja oppimista rakentamassa. Toom, A., Rautiainen, M. & Tähtinen, J. (toim.). Turku: FERA Suomen kasvatustieteellinen seura, s. 509-534 26 Sivumäärä (Kasvatusalan tutkimuksia; nro 75).

Yliopistomatematiikka, koulumatematiikka ja opettajan tieto

Suomalaisen matematiikan aineenopettajakoulutuksen voidaan katsoa sisältävän varsin kattavan paketin matematiikan opintoja, pedagogisia opintoja ja käytännön opetusharjoittelua kouluissa. Toisin sanoen, koulutuksessa kertyy varsin suuri määrä opettajalle tärkeää tietoa. Toisaalta sekä opettajaopiskelijat että työelämässä toimivat matematiikan opettajat saattavat kokea yliopistossa opiskellun matematiikan irrallisena koulussa opetettavasta sisällöstä (esim. Koponen, Asikainen, Viholainen, & Hirvonen, 2015; Yrjänäinen, 2011).

Kiinnostava kysymys onkin, minkälaisen kokonaisuuden otsikon mukainen kolmikko ”yliopistomatematiikka”, ”koulumatematiikka” ja ”opettajan tieto” muodostaa. Lähdetään miettimään asiaa yksinkertaisen esimerkin näkökulmasta. Toisen asteen polynomifunktio esitetään tunnetusti muodossa f(x) = ax2 + bx + c. Lukion matematiikasta tiedetään hyvin, että toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on alas- tai ylöspäin aukeava paraabeli. (Mikä olikaan muuten paraabelin (geometrinen) määritelmä?) Kerroin a määrää tunnetusti sen, aukeaako paraabeli alas- vai ylöspäin. Ajatellaan, että olet matematiikan opettaja ja oppilaasi kysyy, miksi kuvaaja kääntyy kertoimen a mukaan. Miten reagoit?

Mietit ehkä, mikä olisi paras tapa lähestyä kysymystä niin, että vastaus ja mahdollisesti sitä seuraavat pohdinnat edistäisivät oppilaan ymmärrystä. Voidaankin katsoa, että kyse on niin sanotusta pedagogisesta sisältötiedosta; miten lähestyn oppiaineen X sisältöä Y oppimiseen liittyvässä tilanteessa Z. Kuitenkin se, mitä tiesit asiasta ”puhtaan matemaattisessa mielessä” varmastikin vaikutti siihen, minkälaisia lähestymistapoja kehittelit. Teoreettisesti tarkasteltuna niin sanottu matemaattinen sisältötieto nähdäänkin pohjana pedagogiselle sisältötiedolle (esim. Ball, Thames, & Phelps, 2008). Tutkimuksissa onkin havaittu, että opettajaopiskelijan pedagogiset lähestymistavat ovat mielenkiintoisella tavalla kytköksissä matemaattiseen sisältötietoon (esim. Even, Tirosh, & Markovits, 1996).

Palataan vielä hetkeksi toisen asteen polynomifunktioon; asiaa voidaan nimittäin lähestyä varsin monesta suunnasta. Voidaan esimerkiksi miettiä, miten ongelmaa voisi muokata yksinkertaisemmaksi. Miltä näyttävät muotoa x ↦ ax2 olevien funktioiden kuvaajat? Entä muotoa muotoa x ↦ ax2 + c olevat? Esimerkiksi tällaista tehtävänannon muokkaamista Ball kollegoineen (2008) pitää opettajalle matematiikan opettajalle erityisenä sisältötiedon lajina. Toisaalta voidaan miettiä esimerkiksi, mihin laajempaan kontekstiin kyseinen matemaattinen sisältö liittyy: minkälaisista funktioista toisen asteen polynomifunktiot ovat erikoistapaus jne. Opettajan tietoon tuntuukin siis liittyvän sekä matemaattisen sisältötiedon että pedagogisen sisältötiedon osalta vähän kaikenlaista…

Ilmaan saattoi kuitenkin jäädä edelleen leijumaan kysymys siitä, mikä rooli yliopiston matematiikan kursseilla on opettajan tiedolle. Erityisesti lukion matematiikka tuntuu kuitenkin olevan pullollaan kohtia, joita käsitellään tarkemmin yliopiston matematiikan kursseilla. Tällaisia kohtia voi löytää erityisesti analyysiin, vektoreihin, todennäköisyyslaskentaan, tilastolliseen päättelyyn, logiikkaan ja lukualueisiin liittyen. Tällaisia yliopiston ja koulumatematiikan yhteyksiä voikin hyvin pohdiskella joko ”alhaalta ylöspäin” tai ”ylhäältä alaspäin” (ks. Dreher, Lindmeier, & Heinze, 2016).

Pidän II periodissa jälleen aineenopettajaopiskelijoille suunnatun kurssin ”Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”, jolla tartumme joihinkin tällaisiin tapauksiin. Pyrimme siten vahvistamaan yliopiston matematiikan kurssien ja koulumatematiikan välisiä yhteyksiä. Tarkemmat tiedot tämän syksyn kurssista päivittyvät kurssin kotisivulle. Toivotan kaikki asiasta kiinnostuneet tervetulleiksi!

Viitteet:

Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Dreher, A., Lindmeier, A., & Heinze, A. (2016). Conceptualizing professional content knowledge of secondary teachers taking into account the gap between academic and school mathematics. Proceedings of 40th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Hungary. 219-226.

Even, R., Tirosh, D., & Markovits, Z. (1996). Teacher subject matter knowledge and pedagogical content knowledge: Research and development. Proceedings of the 20th PME International Conference, 1, 119-134.

Koponen, M., Asikainen, M., Viholainen, A., & Hirvonen, P. (2015). Matematiikan opettajankoulutuksen arviointipohjainen kehittäminen. LUMAT, 3(6), 925-947.

Yrjänäinen, S. (2011). “Onks meistä tähän?” : Aineenopettajakoulutus ja opettajaopiskelijan toiminnallisen osaamisen palapeli. Tampere: Tampere University Press.

Vertaispalaute tieteellisen viestinnän kurssilla

Kirjoittaneet Jokke Häsä ja Sini Karppinen.

Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksella pidettiin viime syksynä ensimmäistä kertaa kurssi nimeltä Tieteellinen viestintä matemaatikoille. Kurssin pääasiallisena tarkoituksena on koota yhteen kandidaatin tutkintoon kuuluvat äidinkielen opinnot sekä matematiikan harjoitustyö. Aiempina vuosina vaaditut äidinkielen opinnot on suoritettu melko suppeina kandiseminaarin yhteydessä ja matematiikan harjoitustyön tekemistä on lykätty siihen vaiheeseen, kun pitäisi saada tutkinto kasaan. Tieteellisen viestinnän kurssin yhtenä tarkoituksena onkin saada nämä opinnot suoritetuksi ohjeellisen aikataulun mukaan eli toisena opiskeluvuotena. Lisäksi uuden kurssimuodon tavoitteena on tarjota opiskelijoille aiempaa monipuolisempaa ja tarkoituksenmukaisempaa ohjausta.

Tieteellisen viestinnän kurssiin kuuluu luentoja, kirjallisia töitä ja suullinen esitelmä. Luentojen aiheita ovat matematiikan kirjoittaminen, tiedonhaku, tieto- ja oppikirjallisuus, tiedon visualisointi, akateeminen viittauskäytäntö, suullinen esitystaito ja matematiikan julkaisukulttuuri. Opiskelijat kirjoittavat luennoista oppimispäiväkirjaa. Suoritukseen vaaditaan tämän lisäksi matematiikan harjoitustyö ja siihen valmistava kirjoitelma sekä harjoitustyöhön pohjautuva suullinen esitelmä.

Kirjoitelmassa opiskelija kirjoittaa valitsemansa vanhan laskuharjoitustehtävän ratkaisun hyvällä matemaattisella tyylillä. Myös pieni johdatus tehtävän aiheeseen ja tarvittavien esitietojen esitteleminen kuuluu tehtävänantoon. Matematiikan harjoitustyö tehdään puolestaan yhdestä opettajan laatiman tehtäväpankin tehtävästä. Näiden kirjoitustöiden tarkoituksena on harjoitella siistiä ja selkeää matemaattista esitystapaa kandidaatin tutkielmaa varten. Olemme pyrkineet korostamaan sitä, että matematiikassa ei riitä se, että osaa ratkaista tehtäviä, vaan oma ratkaisu pitää osata kirjoittaa ymmärrettävällä tavalla. Tämä on matemaattista viestintää.

Molempien kirjallisten töiden yhteydessä kurssilla käytetään yhtenä opetusmenetelmänä vertaispalautetta. Ennen työn lopullista palautusta opiskelijat antavat kirjallista palautetta muutamalle satunnaisesti valitulle toverilleen. Tämän jälkeen he voivat vielä parannella omaa työtään ennen kuin se jätetään opettajien arvioitavaksi. Tekninen toteutus hoituu Moodlen Workshop-työkalulla. Lisäksi opiskelijat harjoittelevat myös suullisen palautteen antamista harjoitustyön pohjalta laaditun esitelmän yhteydessä. Tarkoituksena on, että opiskelijat oppivat antamaan ja vastaanottamaan palautetta sekä käyttämään sitä hyödyksi oman työnsä parantamisessa. Lisäksi vertaispalautteen antaminen kannustaa opiskelijoita ylipäätään pohtimaan matemaattisen kirjoitelman laatukriteerejä: mikä tekee toisesta työstä paremman kuin toinen?

Ohjaamme opiskelijoita erilaisten kysymysten avulla antamaan mahdollisimman monipuolista kirjallista palautetta. Strathclyden yliopiston emeritusprofessori David Nicol on tutkinut vertaisarviointia laajalti (ks. viite 1) ja havainnut muun muassa, että opiskelijat pystyvät parantamaan omaa työtään välittömästi annettuaan palautetta, vaikka eivät vielä olisi lukeneet itse saamaansa palautetta. Tämä viittaa siihen, että lukiessaan toistensa töitä he vertaavat näitä automaattisesti omaan työhönsä ja näkevät siinä uusia vahvuuksia ja heikkouksia.

Vertaispalautetta ohjaavien kysymysten tulisi saada opiskelijat arvioimaan työtä mahdollisimman laajasta perspektiivistä, mutta samalla perustelemaan näkemyksensä analyyttisesti. Nicol on tiivistänyt tekemistään havainnoistaan joitakin hyviä käytäntöjä (ks. viite 2), joita pyrimme noudattamaan kurssin tehtävissä. Haasteena on käytäntöjen sovittaminen matematiikan arviointiin.

Harjoitustyön vertaispalautteen antamista on ohjattu esimerkiksi seuraavanlaisella kysymyksellä:

Tehtävän tarkoituksena on kehittää viestintätaitoja eli kykyä ilmaista ajatuksensa ymmärrettävässä muodossa. Kuinka kirjoittaja on mielestäsi tässä onnistunut? Perustele.

Kysymyksellä pyritään siihen, että palautetta antava opiskelija tarkastelee kokonaisuutta tiettyyn rooliin asettuneena.

Jatkossa aiomme edelleen kehittää Tieteellisen viestinnän kurssia, sillä olemme havainneet sen formaatin toimivaksi. Erityisesti haluamme kiinnittää huomiota siihen, että palautteen vertaispalautteen harjoittelu olisi opiskelijoille miellyttävä kokemus ja että he myös hyötyisivät siitä. Kysymme opiskelijoilta heidän mielipidettään palauteharjoituksista sekä sitä, millä tavoin he ovat hyödyntäneet saamaansa tai antamaansa palautetta. Vaikeampaa on pureutua varsinaisiin oppimistuloksiin, mutta analysoituamme tarkemmin tämän syksyn ja kevään kurssin muotoa, tehtyjä kirjallisia töitä sekä niistä annettua palautetta voimme varmasti tehdä joitakin johtopäätöksiä palauteharjoittelun konkreettisista hyödyistä.

Viitteitä:

  1. Nicol, D. (2013). Resituating feedback from the reactive to the proactive. Feedback in higher and professional education: Understanding it and doing it well, 34-49.
  2. Nicol, D. (2014). Guiding principles for peer review: unlocking learners’ evaluative skills. Advances and innovations in university assessment and feedback, 197-224.
  3. Nicol, D. (2011). Developing students’ ability to construct feedback. QAA Scotland, Enhancement Themes.

Ohjaamisen yksitoista käskyä

Kumpulan kampus 2015-16Laitoksellamme on käytössä tehostetun kisällioppimisen menetelmä (Extreme Apprenticeship), jossa opiskelijoiden oma aktiivinen työskentely on keskeisessä roolissa. Opiskelijoiden apuna ovat kisälliohjaajat, jotka ovat hiukan vanhempia ohjaajia.

Ohjaajien tehtävänä on tukea opiskelijoiden omaa ajattelua ja opettaa heille opiskelutaitoja, eikä viedä opiskelijoilta oivaltamisen iloa. Tällainen opettaminen ei ole aivan helppoa etenkin, jos on tottunut ajattelemaan, että hyvä opettaja selittää opiskelijalle asiat juurta jaksain ja tietää vastaukset kaikkiin kysymyksiin. Siksi kisälliohjaajat osallistuvat koulutukseen, joka kestää koko lukuvuoden ajan. Koulutus koostuu viikoittaisista tapaamisista, joissa keskustellaan ohjaamisen pedagogiasta.

Olemme yhdessä ohjaajien kanssa koonneet yhteen ohjeita kisälliohjaajan työhön. Lista on muuttunut vuosien varrella, kun olemme oppineet lisää ohjaamisesta. Tältä ohjeet näyttävät tällä hetkellä:

  1. Kuuntele. Kannusta opiskelijaa puhumaan ja kuuntele, mitä hän sanoo. Anna ohjaustilanteen edetä opiskelijan ehdoilla.
  2. Ohjaa yksilöllisesti. Opiskelijat ovat erilaisia. Toinen saattaa tarvita apua perusasioissa ja kaivata hyvin konkreettisia neuvoja. Toinen taas toivoo vain pientä vinkkiä tehtävään. Pyri selvittämään opiskelijan tarpeet ja ohjaa häntä niiden mukaan.
  3. Anna opiskelijan tehdä ja oivaltaa itse. Tarkoituksena on, että opiskelija työskentelee itse ratkaisun eteen ja ohjaaja on tässä tukena. Ohjaa niin, että opiskelijalla on mahdollisuus omaan oivallukseen.
  4. Kannusta. Opiskelijat saattavat olla hyvin epävarmoja omista taidoistaan ja kokea, että he eivät pärjää. Ole kannustava ja pyri löytämään jotain hyvää opiskelijan työskentelystä.
  5. Ole aktiivinen. Käy tervehtimässä opiskelijoita oma-aloitteisesti. Opiskelijoiden on helpompi kysyä neuvoa, jos ohjaaja on avannut keskustelun.
  6. Jaa huomiosi. Älä anna yhden opiskelijan viedä liikaa aikaa muilta. Toisinaan opiskelijan on hyvä antaa miettiä tehtävää rauhassa itsekseen.
  7. Auta lukemaan kurssimateriaalia. Matemaattisen tekstin lukeminen on opiskelijoille vaikeaa ja he saattavat yrittää käyttää ohjaajaa tietopankkina, mikä ei ole tarkoituksenmukaista. Ohjaajan tulisi opastaa opiskelijoita kurssimateriaalin pariin ja auttaa heitä sen lukemisessa.
  8. Ohjaajan ei tarvitse tietää kaikkea. Hän voi ottaa asioista selvää yhdessä opiskelijan kanssa, jolloin opiskelija saa mallin siitä, kuinka kokeneempi matematiikan opiskelija työskentelee.
  9. Opeta opiskelutaitoja. Ohjauksen tavoitteena ei ole ainoastaan auttaa opiskelijaa ratkaisemaan yksittäistä tehtävää, vaan myös opettaa hänelle, kuinka matemaatikko ryhtyy ratkomaan kohtaamaansa ongelmaa.
  10. Älä ota tunteenpurkauksia henkilökohtaisesti. Suhtaudu opiskelijoiden ongelmiin ja tunteenpurkauksiin myötätuntoisesti ja ymmärtäen, mutta älä jää murehtimaan niitä. Kyse voi pohjimmiltaan olla esimerkiksi opiskelijan epävarmuudesta.
  11. Kannusta yhteistyöhön. Tavoitteena on oppia keskustelemaan matematiikasta. Kannusta opiskelijoita miettimään tehtäviä yhdessä etenkin, jos moni pohtii samaa tehtävää yksinään.