Yliopistomatematiikka, koulumatematiikka ja opettajan tieto

Suomalaisen matematiikan aineenopettajakoulutuksen voidaan katsoa sisältävän varsin kattavan paketin matematiikan opintoja, pedagogisia opintoja ja käytännön opetusharjoittelua kouluissa. Toisin sanoen, koulutuksessa kertyy varsin suuri määrä opettajalle tärkeää tietoa. Toisaalta sekä opettajaopiskelijat että työelämässä toimivat matematiikan opettajat saattavat kokea yliopistossa opiskellun matematiikan irrallisena koulussa opetettavasta sisällöstä (esim. Koponen, Asikainen, Viholainen, & Hirvonen, 2015; Yrjänäinen, 2011).

Kiinnostava kysymys onkin, minkälaisen kokonaisuuden otsikon mukainen kolmikko ”yliopistomatematiikka”, ”koulumatematiikka” ja ”opettajan tieto” muodostaa. Lähdetään miettimään asiaa yksinkertaisen esimerkin näkökulmasta. Toisen asteen polynomifunktio esitetään tunnetusti muodossa f(x) = ax2 + bx + c. Lukion matematiikasta tiedetään hyvin, että toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on alas- tai ylöspäin aukeava paraabeli. (Mikä olikaan muuten paraabelin (geometrinen) määritelmä?) Kerroin a määrää tunnetusti sen, aukeaako paraabeli alas- vai ylöspäin. Ajatellaan, että olet matematiikan opettaja ja oppilaasi kysyy, miksi kuvaaja kääntyy kertoimen a mukaan. Miten reagoit?

Mietit ehkä, mikä olisi paras tapa lähestyä kysymystä niin, että vastaus ja mahdollisesti sitä seuraavat pohdinnat edistäisivät oppilaan ymmärrystä. Voidaankin katsoa, että kyse on niin sanotusta pedagogisesta sisältötiedosta; miten lähestyn oppiaineen X sisältöä Y oppimiseen liittyvässä tilanteessa Z. Kuitenkin se, mitä tiesit asiasta ”puhtaan matemaattisessa mielessä” varmastikin vaikutti siihen, minkälaisia lähestymistapoja kehittelit. Teoreettisesti tarkasteltuna niin sanottu matemaattinen sisältötieto nähdäänkin pohjana pedagogiselle sisältötiedolle (esim. Ball, Thames, & Phelps, 2008). Tutkimuksissa onkin havaittu, että opettajaopiskelijan pedagogiset lähestymistavat ovat mielenkiintoisella tavalla kytköksissä matemaattiseen sisältötietoon (esim. Even, Tirosh, & Markovits, 1996).

Palataan vielä hetkeksi toisen asteen polynomifunktioon; asiaa voidaan nimittäin lähestyä varsin monesta suunnasta. Voidaan esimerkiksi miettiä, miten ongelmaa voisi muokata yksinkertaisemmaksi. Miltä näyttävät muotoa x ↦ ax2 olevien funktioiden kuvaajat? Entä muotoa muotoa x ↦ ax2 + c olevat? Esimerkiksi tällaista tehtävänannon muokkaamista Ball kollegoineen (2008) pitää opettajalle matematiikan opettajalle erityisenä sisältötiedon lajina. Toisaalta voidaan miettiä esimerkiksi, mihin laajempaan kontekstiin kyseinen matemaattinen sisältö liittyy: minkälaisista funktioista toisen asteen polynomifunktiot ovat erikoistapaus jne. Opettajan tietoon tuntuukin siis liittyvän sekä matemaattisen sisältötiedon että pedagogisen sisältötiedon osalta vähän kaikenlaista…

Ilmaan saattoi kuitenkin jäädä edelleen leijumaan kysymys siitä, mikä rooli yliopiston matematiikan kursseilla on opettajan tiedolle. Erityisesti lukion matematiikka tuntuu kuitenkin olevan pullollaan kohtia, joita käsitellään tarkemmin yliopiston matematiikan kursseilla. Tällaisia kohtia voi löytää erityisesti analyysiin, vektoreihin, todennäköisyyslaskentaan, tilastolliseen päättelyyn, logiikkaan ja lukualueisiin liittyen. Tällaisia yliopiston ja koulumatematiikan yhteyksiä voikin hyvin pohdiskella joko ”alhaalta ylöspäin” tai ”ylhäältä alaspäin” (ks. Dreher, Lindmeier, & Heinze, 2016).

Pidän II periodissa jälleen aineenopettajaopiskelijoille suunnatun kurssin ”Yliopistomatematiikka aineenopettajan näkökulmasta”, jolla tartumme joihinkin tällaisiin tapauksiin. Pyrimme siten vahvistamaan yliopiston matematiikan kurssien ja koulumatematiikan välisiä yhteyksiä. Tarkemmat tiedot tämän syksyn kurssista päivittyvät kurssin kotisivulle. Toivotan kaikki asiasta kiinnostuneet tervetulleiksi!

Viitteet:

Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407.

Dreher, A., Lindmeier, A., & Heinze, A. (2016). Conceptualizing professional content knowledge of secondary teachers taking into account the gap between academic and school mathematics. Proceedings of 40th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Hungary. 219-226.

Even, R., Tirosh, D., & Markovits, Z. (1996). Teacher subject matter knowledge and pedagogical content knowledge: Research and development. Proceedings of the 20th PME International Conference, 1, 119-134.

Koponen, M., Asikainen, M., Viholainen, A., & Hirvonen, P. (2015). Matematiikan opettajankoulutuksen arviointipohjainen kehittäminen. LUMAT, 3(6), 925-947.

Yrjänäinen, S. (2011). ”Onks meistä tähän?” : Aineenopettajakoulutus ja opettajaopiskelijan toiminnallisen osaamisen palapeli. Tampere: Tampere University Press.

Matematiikkaa kaikille!

Kirjoittaneet Matematiikka tutuksi -kurssin luennoitsijat Juulia Lahdenperä ja Rami Luisto.

Laitoksellamme on jo pitkään järjestetty Matematiikka tutuksi -nimellä kulkevaa kurssia. Viime syksynä päätimme säilyttää kurssin vanhan nimen, mutta laitoimme sen sisällön puolesta radikaalisti uusiksi. Me luennoitsijat olimme uudesta kurssista enemmän kuin innoissamme; siitä kertonee kurssin epävirallinen runomitallinen kurssikuvaus:

Mi ompi se kurssi jok’ syksyn sarastaess’ hohkaa?
Se Matematiikka Tutuksi on, se meidän uudistuneena kohtaa!
Jos vastauksia kysymyksiis’ halajat;
miten algebra ja salakirjoitus toisiaan vastavajat?
Jos päätäsi kovasti askarruttaa;
miten tilastoilla voi rosmoja jarruttaa?
Etkä pohdinnallasi osaa selvittää,
kuinka neliulotteisen aika-avaruuden geometria pelittää.
Niin juosten kohti kurssiamme nyt riennä!
Ei liian hidas sitä käymään ennä.
Vaikk’et matematiikkaa pääaineenasi luekaan,
tai vaikk’ei aiemmat opintosi alaa tuekaan,
niin älä huoli!
Löytyy meiltä sinullekin tuoli.

Tavoitteenamme oli laajentaa opiskelijoiden käsitystä matematiikasta antamalla välähdyksenomaisia esimerkkejä korkeamman matematiikan ilmiöistä ja sovellutuksista. Lisäksi halusimme esitellä matematiikan filosofista ja luovaa puolta, sekä antaa tilaa niille pohdinnoille, joille ei perinteisten luentokurssien puitteissa ole aikaa. Kurssi suunnattiin pääaineeseen katsomatta kaikille matematiikan kauneudesta ja arkipäivän sovelluksista kiinnostuneille opiskelijoille, eikä kurssille ollut esitietovaatimuksia.

KURSSIN TOTEUTUS

Kurssi kesti seitsemän viikkoa, ja joka viikolla oli oma teemansa. Jokaisen viikkoteeman puitteissa käsiteltiin johonkin tiettyyn matematiikan alaan liittyviä jännittäviä näkökulmia ja ilmiöitä. (Kurssipalautteen mukaan ehdottomasti suosituin viikkoteema oli salakirjoitus!) Kurssi koostui viikoittaisista luennoista ja pienryhmätapaamisista. Luennot toteutettiin dialogiopetuksena kahden luennoitsijan voimin. Tavoitteena oli matemaattisen sisällön ohella esitellä matemaatikoiden ajattelua ja työskentelyä luennoitsijoiden vuorovaikutuksen kautta.

Kurssin opiskelijoiden taustojen laajuus oli ennakkoon tiedossa. Tästä syystä luentojen lähtökohtana oli se, ettei kaikkien opiskelijoiden tarvitse ymmärtää kaikkea – kunhan jokainen ymmärtäisi ainakin jotain, ja myös edistyneemmille opiskelijoille tarjottaisiin kiinnostavia näköaloja. Luennoitsijoina halusimme jättää opiskelijoille myös ihmetyksen tunteita: se, ettei tajuakaan kaikkea, voi olla hyvinkin positiivinen kokemus. Kurssin pienryhmien motivaattorina toimi lausahdus “Mennään Heurekaan!”. Kurssilla ei siis ollut perinteisiä viikoittaisia kotona tehtäviä laskuharjoituksia, vaan pienryhmään tultiin pohtimaan viikkoteemaan liittyviä enemmän tai vähemmän konkreettisia kysymyksiä. Pienryhmien ohjaajina toimivat Opiskelijalähtöinen ohjaaminen -kurssin opiskelijat.

KURSSIPALAUTE

Keräämämme kurssipalautteen (N=72) mukaan kurssi oli kokonaisuudessaan hyvin suosittu. Luultavasti on kuitenkin helpompaa seurata matemaattisia keskusteluja kuin osallistua niihin aktiivisesti itse: opiskelijoiden mielestä luennoille (KA 4,54/5) oli keskimäärin pienryhmiä (KA 3,89/5) mukavampi tulla. Tulokset on esitetty alla olevissa taulukoissa:

luennoilleolimukavatullapienryhmiinolimukavatullaKahden luennoitsijan malli otettiin uuden uutukaisuudessaan (tai siitä huolimatta) erinomaisesti vastaan. Opiskelijat pitivät kyseistä mallia kurssille erinomaisesti sopivana: väittämä “Kaksi luennoitsijaa toi kurssille lisäarvoa” sai keskiarvoksi 4,42/5.

kaksiluennoitsijaatoikurssillelisaarvoaSaamassamme palautteessa kommentoitiin luentoja mm. seuraavasti:

”Mielenkiintoisia, tosin raapaisunomaisia. Välillä ei tiennyt, oliko kyseessä komedia vai tragedia, mutta viikon viihdepläjäys ainakin :)”

”Erittäin hyviä, erityisesti johdantona syvempään matematiikkaan. Täysin ymmärrettäviä, mutta opettavaisia ja mieltä avartavia.”

”Rento, mutta asiantunteva ote luennoitsijoilla. Mukavan jutusteleva & epäformaali tyyli. Pidin myös aihevalinnoista.”

Pienryhmienkin osalta palaute oli hyvää:

”Hauskoja puuhatuokioita. Tehtävät vaihdelleet tosi hyvistä tylsiin.”

”Näissä on ollut mukava käydä ja tehdä tehtäviä. Mukavaa tutustua kurssilaisiin vähän rennompien tehtävien parissa. Askartelu on ollut hauskaa ja auttanut ymmärtämään ratkaisuja. Piristää viikkoa, kun on tämmöinen puuhastelulaskari sen aikana.”

”Täydensi luentoja hyvin, ‘jänniä pohdintatehtäviä’.”

Kysyimme kurssipalautteessa myös sitä, muuttuiko opiskelijoiden käsitys matematiikasta kurssin aikana tai sen johdosta. Saadut vastaukset ovat erittäin rohkaisevia! Alla muutamia herkkupaloja:

“Kiehtovaa, mutta ajattelu on työlästä.”

“[Matematiikka on] mielenkiintoisempaa kuin olin kuvitellut, monipuolisempaa. Aiemmin kammoamani aine, tämän kurssin myötä on mielenkiinto hieman herännyt, ei ole enää niin kammottavaa, ehkä jopa hieman kiehtovaa :)”

“[…] En aiemmin ymmärtänyt miten paljon ilmiöitä voidaan ymmärtää ja toisaalta muokata matemaattisin perustein.”

“Ehkä hauskuus oli yllättävintä. En ole koskaan ollut näin hauskoilla matikan tunneilla :D”

Myös opiskelijoiden käsitys matemaatikoista tarvitsi ilmeisesti päivitystä:

“Matemaatikkojen huumori on oikeasti hauskaa…”

“Ehkä eniten minuun on iskenyt matemaatikoiden intohimo ja peräänantamattomuus ongelmien edessä.”

“[…] tyypit on olevinaan humanisteja, kunnes :D”

“Matemaatikot ovat persoonallisia ja osa huijareita.”

“Nyt on nähty että matemaatikot osaavat puhua myös ihmisten kieltä.”

POHDINTAA

Luennoitsijoiden näkökulmasta kurssi oli siitä poikkeuksellinen, että se antoi vapauden käsitellä laaja-alaisesti erilaisia mielenkiintoisia matemaattisia ilmiöitä isosta kokonaisuudesta välittämättä. Kurssi saattoi kuitenkin olla opiskelijoiden näkökulmasta haastava, sillä aiheet vaihtuivat viikoittain, eikä tukevaa kokonaisuutta näin ollen muodostunut. Olisi mielenkiintoista kokeilla kurssia myös tyylillä, jossa syvennyttäisiin ainoastaan yhden matematiikan osa-alueen populaareihin ilmiöihin.

Dialogiopetus itsessään oli erittäin kiinnostava kokemus. Kunhan yhdessä luennoimisen ideaan pääsi sisään, se vähensi jännitystä ja stressiä; mikäli oma ajatus katkesi, toinen pystyi jatkamaan juttua uusiin enemmän tai vähemmän tangentiaalisiin suuntiin. Tämä mahdollisti matemaattisten kysymysten käsittelemisen vapautuneesti ja kokeilevasti, joka osaltaan erinomaisesti tuki kurssin tavoitteiden toteutumista.

Kurssin opiskelijat olivat pääosin kumpulalaisia sivuaineopiskelijoita. Tätä tilastoa haluaisimme parantaa tulevina vuosina. Muiden kampusten opiskelijat, erityisesti he, jotka eivät perinteisesti opiskele matematiikkaa sivuaineenaan, tulisi saattaa tietoiseksi tästä kurssista. Kurssin mahdollinen uudelleennimeäminen Matematiikkaa kaikille! -kurssiksi toivottavasti osaltaan kannustaa myös näitä eksokumpulalaisia tulemaan mukaan!

EPILOGI AKA TL;DR

“Noni. Miten meni noin niinku omasta mielestä?”

“Mä tykkäsin.”

“Niin mäkin!

“Ja niin tykkäs muuten opiskelijatkin!“

“… ja pienryhmien ohjaajat!“

“Jep, ei muuta ku ensi vuonna uusiksi!”

Tehtävien kimpussa

Osallistuin touko-kesäkuussa laitoksellamme harvemmin järjestettävälle kombinatoriikan kurssille. Monia kombinatorisia ongelmia pohditaan jo koulumatematiikassa ja erityisesti nuorten kilpamatematiikassa. Kurssi on siis opettajaopiskelijan (tai jo valmistuneen opettajan) näkökulmasta sisällöllisesti varsin mielekäs ja mielenkiintoinen. Silti itselläni vielä sisältöäkin tärkeämmäksi nousi mahdollisuus maistella muutaman vuoden tauon jälkeen matematiikan yliopistokurssia opiskelijan näkökulmasta. Olen nimittäin vakuuttunut siitä, että jokaiselle opettajalle on terveellistä aika-ajoin tutkailla opetusta ja opiskelua myös ”aidan toiselta puolelta”.

Kurssi oli monin tavoin varsin mainio keskittyessään muutamaan keskeiseen aiheeseen sekä niiden soveltamiseen kombinatoristen ongelmien ratkomisessa. Toisaalta kurssilla käytettiin tuttujen laskuharjoitusten ja luentojen lisäksi vertaisarviointia ja projektitöitä. ”Opettaja-minän” kannalta kurssin tärkeimmäksi jälkipohdinnaksi jäikin erilaisten harjoitusten ja opiskelun toteutustapojen miettiminen suhteessa kurssin tavoitteisiin.

Harjoitustehtäviä tehdessäni havaitsin nimittäin itsessäni karkeasti neljää (tai viittä) tehtävän ”loppuunviemisen astetta”. Nimetään nämä asteet vaikkapa seuraavasti:

  1. (Tehtävän ohittaminen)
  2. Tehtävän lukeminen ja ideoiden pyörittely
  3. Ratkaisun idean kehittely (yksityiskohdat tarkastamatta tai kokonaan tekemättä)
  4. Karkean ratkaisun laatiminen (muistiinpanot, joiden avulla ratkaisun selittäminen kaverille/yleisölle onnistuu)
  5. Viimeistellyn ratkaisun laatiminen (selkeästi muotoiltu ”oppikirjamainen” ratkaisu, jonka voi lukea ja ymmärtää helposti sellaisenaan)

Se, kuinka pitkälle ratkaisun vein, riippui jossain määrin siitä, odotettiinko kyseisestä tehtävästä esimerkiksi kirjallinen palautus vai oliko tehtävä tarkoitettu enemmän ”omaksi iloksi”. Voi siis sanoa, että suoritukseni riippui aika tavalla ulkoisesta motivoinnista! Mutta toisaalta sisäisen motivaation osuus oli suuri: ratkaisun laatimiseen käytetty vaiva riippui myös siitä kuinka innostavana, pirullisena, hyödyllisenä tai tylsänä tehtävää pidin.

Kurssilla oli viikoittaisia harjoitustehtäviä n. 15 kappaletta ja tämän lisäksi pohdittavaksi annettiin yksi setti kombinatoriikkaan liittyviä matematiikkaolympialaisten tehtäviä. Osa harjoitustehtävistä oli ”lisäpisteitä tuottavia” eli ne olivat kurssin tavoitteisiin nähden haastavampia, eikä niiden tekemistä edellytetty. Näistä ”extra credit”-tehtävistä osan voinkin myöntää lähes ohittaneeni, mutta käytännössä kuitenkin vähintään luin tehtävän, mallinsin sitä hieman ja totesin, että tehtävä ei ratkea aivan helposti. Vein siis toisin sanoen tehtävän ratkaisun tasolle 1.

Mielenkiintoinen vaihe oppimisen kokemuksen kannalta oli se, kun oikeasti kävi tehtävän kimppuun. Tein tehtäviä asteittain ja palasin niihin yleensä useaan otteeseen. Jos en suoraan nähnyt tehtävän takana piilevää ajatusta, aloitin mallintamalla tehtävää ja pyörittelemällä ideoita. Mikäli sopivaa ajatusta ei löytynyt, jätin tehtävän hautumaan ja palasin siihen parin päivän päästä uudestaan. Mikäli löysin lupaavan idean, vein ratkaisua suurpiirteisesti eteenpäin. Usein, mikäli tehtävä oli sellainen, jota ei käsitelty lainkaan laskuharjoitustilanteessa, jätin ratkaisun tälle tasolle (2) ja luin myöhemmin malliratkaisun, johon vertasin omaa ratkaisuani. En suuremmin tarkistanut yksityiskohtia tai jätin ne kokonaan tekemättä.

taso2

Tasolle 2 viety ratkaisu.

Tehtävän ratkaisun vieminen tasolle 3 on jotakin, johon olen tottunut omissa opinnoissani: laskuharjoitustilaisuuksiin valmistellaan tehtäviin sellaiset ratkaisut, jotka voi esittää muille esimerkiksi liitutaulun avulla puheella ryyditettynä. Suurin piirtein tälle tasolle tulikin vietyä laskuharjoitustilaisuuksissa käsitellyt tehtävät.

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu

Tasolle 3 viety (tasoa 4 lähentelevä) ratkaisu.

Mielenkiintoista kurssilla oli se, että ainakin yksi tehtävä viikossa tuli vietyä pidemmälle (tasolle 4). Kurssin harjoitustehtävistä yksi tehtävä viikossa vertaisarvioitiin Moodlen välityksellä. Tavoitteena oli oppia kirjoittamaan hyviä ratkaisuja, jotka vertainen voi hyvin ymmärtää. Tämä tuntui vahvistavan kokemustani, jonka mukaan tunnun oppivan asian parhaiten, jos joudun selittämään sen jollekin muulle tai tekemään aiheesta oppimateriaalia. Tämän lisäksi sisäinen motivaationi tehdä huolellinen ratkaisu tehtävään tuntuu kasvavan, jos ajattelen, että joku muu saattaa jollain tavalla hyötyä ratkaisustani.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Tasolle 4 viety viimeistelty ratkaisu.

Kokemuksistani seurasikin kysymys: minkälainen ”vaatimustaso” tehtävän ratkaisulle olisi kussakin tilanteessa parhaiten oppimista edistävä ja kurssin tavoitteisiin nähden tarkoituksenmukainen? Kokemukseni omista matematiikan opinnoistani oli, että tasolle 4 vietyä ratkaisua pyrittiin harjoittelemaan Analyysin harjoitustyössä (nykyään matematiikan harjoitustyössä ) ja tutkielmissa, mutta oikeasti opin matemaattisen tekstin kirjoittamista eniten opintojeni loppuvaiheessa laatiessani tehtävien malliratkaisuja laskuharjoitusten pitäjän roolissa. Siis oikeastaan opintojen ulkopuolella.

Nykyisillä laitoksemme kisällioppimisen menetelmällä toteutetuilla kursseilla matematiikan kirjoittamista on nostettu mukavasti esiin. Tehtäviä palautetaan kirjallisesti ja niistä saadaan palautetta. Tasolle 4 viemäni ratkaisut tuottivat ymmärrettävästi parhaan ”osaamiskokemuksen”. Toisaalta, kuten kaikki joskus matematiikkaa puhtaaksi kirjoittaneet varmasti tietävät, tällaisen ”nelostason ratkaisun” laatiminen vie myös paljon aikaa. Haastaisinkin itseni ja kaikki muutkin opettajat palaamaan opetuksen suunnittelussaan linjakkaan opetuksen hengessä peruslähtökohtiin:

  • Mitkä ovat kurssin oppimis- tai osaamistavoitteet?
  • Minkälaisilla järjestelyillä tavoitteet saataisiin parhaiten toteutumaan?
    • Alakysymyksenä: minkälaiset järjestelyt sytyttävät sisäisen motivaation?

Matemaattisten tehtävien osalta kursseilla tuntuu usein olevan helpointa (niin opiskelijan kuin opettajankin kannalta) tehdä asiat kuten ne on ennenkin tehty. Toisaalta tuntuu siltä, että usein kaikkein hedelmällisintä kehittämisen kannalta on kurssin opetuksen ja opiskelun miettiminen aivan peruslähtökohdista käsin.

Kiitokset kombinatoriikan kurssista erinomaista työtä tehneelle luennoitsijalle ja laskuharjoitusten pitäjälle!

Loppuun vielä lukuvinkkinä klassikkokirjallisuutta tehtävien kimpussa olemisesta:

  • Polya, G. (1945). How to solve it. (Tämä on juuri äskettäin suomennettu nimellä Ratkaisemisen taito: kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia)
  • Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically.

Passion, Love, Math

”To play without passion is inexcusable.” –L. V. Beethoven

 

Cultivating my Mathematical Garden

I love math. It lights my day, opens my mind, brings me to bliss, gives meaning to my life like nothing else I have experienced. It challenges me like a good sport. It surprises me like a new twist in the plot of a detective story. It allows me to express myself like a poet distilling the essence of reality. I cannot get enough of it.

Our romance did not come easily, however. Definitely it was not love at first sight. Initially I treated this babe only as a tool for physics (my first love), or as a fun way to challenge myself and get cheap validation from being able to solve problems. Then I started breaking up with physics – mostly I had issues with the way it was taught – and found I enjoyed spending time more with math courses than physics courses.

That’s, of course, when I began falling for math, but at first I did it for all the wrong reasons: I was bored with physics. I felt I was better at math. The credits came easier. I could juggle more courses. I was good at puzzles. It made me feel clever… such embarrassingly immature reasons. None of them provide the healthy foundations of a strong relationship. I defined myself by the exercises solved, by the courses accomplished, by the grades gained. And the better I did, the deeper I sank into my illusion of knowledge. I thought I loved math, but in reality I was graving for acceptance. I was at the mercy of these superficial indicators, and speeding so fast I had no time to question their justification.

But the true tragedy here was this: no one—be it fellow student, lecturer, lecture material, no one—warned me about this knowledge-illusion, or clearly encouraged to look for a ‘’deeper understanding’’. If anything, I had absorbed the attitude, that a respectable mathematician should steer clear off such vague musings. In fact, I think I did not even realize there existed a higher level of mastery to aspire for. Now, I know some people trust that these profound aspects are somehow ‘’implied’’ in the standard stuff and the meanings transpire to the ‘’talented’’ ones. I don’t care to argue about the elitism of such unfinished defense, but I deeply regret to say that most of the really important insights simply do not ‘’transpire’’ even to the best of students. That is a fact. We’ll come back to this fatal fallacy after I finish my little story.

So I was speeding and about to crash, hopefully before it was too late. How did I save myself? Books. Self-study. Learning to love the math, not the scores. I was lucky, and it was not easy. This is how I re-emerged: I remember being, once again, frustrated about the course material, you know the lecture notes and the scarcity of motivation, so I sought for a good book in Amazon.com. And damn… those bibles of knowledge, those gems of wisdom, those thick, beautiful, respectable monographs. Many of them had stellar peer reviews: ’’A must-have for any aspiring analyst…’’, ‘’The best math book ever written…’’ etc. Immediately I felt I had been seriously missing out and there is a new level of skill to be reached (although at this point my idea of ‘’skill’’ was saddeningly superficial). I was thinking: ‘’Why have I been wasting my time with some last-minute put-together lecture notes when there are such dime pieces of art to be found!’’ So, I dived into literature head on—the best decision I ever made.

At first the reality hit in hard. It was impossible to keep up juggling multiple courses while studying from the fat books instead of the slim lecture notes. Not because the books were more difficult. On the contrary, as the reviews promised, they were awesome compared to most notes. But most notes are compiled together from two or three books and have conventions of their own, and that makes it two to three times more difficult to complete the course self-studying even the best book around, as compared to just cramming trough the course with the provided minimal material.  As a side point, if you, like me, think we should encourage students to read literature, this is something to think about.

So, I had to give up chasing credits and courses. I could no longer draw my pathetic validation from superficial pursuits. It was either the ‘’dirty high’’ by performance or the superior leaning by books; and the right choice was painfully clear. Credit-hunting, multiple courses, and lecture notes went out the god damn door—one of the toughest decisions I ever made.

This all implied I had to build my value system anew, on the most solid ground possible: genuine love for math itself. I could afford no illusions anymore: credits were for fakers and the only thing that matters, the only thing, is math itself: how well I understand it and how beautiful I find it. There was no one to observe my process, so I had to be brutally honest about my skills. At first this was hard because of the uncertainties, self-doubts, and lack of feedback. So hard, in fact, that I really feel sorry for anyone who has to go through it alone… unless you’re a hermit, in which case it’ll be a blast. Most people, though, are not. Then again most never even learn about this option.

And so I finally learned to truly love math for its own sake. As time goes by our relationship is only becoming more interesting. Alas, it has nothing to do with being able to solve more advanced problems or collecting more theorems under my belt. No, the reason I love math more by the day is I can appreciate its beauty more purely and feel its meaning ever more strongly. Like a piano player, the more refined you become, the better you can cherish the nuances—your enjoyment has nothing, no-thing, to do with some dots on a piece of paper.

Victims of Purity

That is how I transformed from an outcome-oriented mathematician to almost purely aesthetics-oriented mathematician. I am not saying everyone should go crazy with this ‘’meta-math’’ hype, but for me it was (and is) the only way. Unfortunately, awesome as it is, it certainly hasn’t made my academic survival any easier; indeed, it would be much more efficient, in the short run, to ditch the ‘’deepeties’’ and acquire the ‘’just do it’’-attitude. I cannot do it, however. If you can, fine, but keep in mind that there at least exist other levels you should eventually aim for, if you want to excel that is. But, most importantly, never forget that there are other individuals who simply cannot survive without deeper meaning to their studies. They are precious innovators enriching our scientific idea-pool. For their sake, learn to generate motivation and provide inspiration beyond the details, the puzzles, the credits.

The reason why I am telling my story is to convince you that we must actively encourage students to seek for the beauty and beware of the temptation to ‘’just perform and pass tests’’. Do NOT make the mistake of counting on students’ ability to avoid these pitfalls on their own. It is a terrible miscalculation. The reality is that even most successful students often don’t have a clue about the true depth of the mathematical theories.  This problem is so devious because it goes largely under the radar. Traditional exams and grading systems do very little to measure this dimension of learning. And the crazy thing is, that you can easily perform perfectly on those canonical examinations without cultivating any deep understanding.

How big a problem is this? Sure, some of the students simply enjoy solving puzzles and they are fine with the current system. Then there are those who are very persistent and goal driven; they might go to ‘’perform-mode’’ and become speed blind (this was me—the mindless racehorse).  Usually these individuals do admirably on the traditional scales, at least up to the point when the reality kicks in.  Meanwhile, however, I think most students are just withering away, coping with the curriculum. And the saddest news is this: especially the rare gems of individuals who express, at the same time, both passionate curiosity and critical thinking—the very characteristics of a scientist—are going to have it depressingly, crushingly hard. They usually—more often than not, I’m afraid—lose interest, even though they might score high on tests. This presents a huge, MASSIVE, problem for mathematics: some of our very best students become casualties of education: we’re starving our offspring, and we don’t even realize it.

Plant the Seeds

Love is never easy. First you seek for it, or at least be open to it, and then you work for it. Above all, you must learn how to share it. That is why I also love teaching math. Just like I could not enjoy life without being able to love, I cannot enjoy math without being able to share it, teach it.

And we need to teach the students to love math for its own sake. If we only teach technical skills we drive away the most passionate individuals, and those that survive are doomed to remain disabled to communicate math with radiating love. I could not care much less about the technical skillset, neither my own nor my students. That is not the essence of mathematics, not the true form of understanding. Yes, one must know how to play an instrument a bit before delivering a musical masterpiece; or know how to read before opening a book on poems, but if you want to inspire greatness, you must provide the experience of joy. You must plant the seed of knowledge: wonder.

It is, therefore, not enough to present the proofs and details to the students and hope that they somehow know how to dig into the deeper message; that they automatically draw passion out of the deltas and epsilons. My experience with students of all skill levels tells me it just won’t work like that: the development of passion and intuition requires, initially at least, a clear view from the right vantage point and a good injection of passionate interpretation. Each student, of course, is different and ideally one should leave room for an individual discovery, but if you only hand out the details you’re leaving it to the chance—no, you’re fooling yourself and letting your students down. I’ve said it before, I say it again: Every passing day promising students are unnecessarily losing their interest and bitterly giving up math. And for no better reason that no-one has ever showed them how things could be, lifted off the veil of obscuring details, inspired them with fulfilling joy. Finally, again and again it seems to be the case that the more passionate you already are, the more difficult it becomes to survive here. The situation is maddeningly messed up. Even if one manages to develop a hunger for the divine food that is the beauty of mathematics, one receives no help in gathering it; the very first step in the path to passion is loaded with hardships. Eventually, then, one either withers away or, maybe even worse, forgets the hunger and settles for coping with unnourishing food.

Todistushattu

Kirjoittaneet Lotta Oinonen ja Johanna Rämö

Tutustuimme opintopiirissämme Tommy Dreyfusin artikkeliin Why Johnny Can’t Prove. Siinä kerrotaan, kuinka yliopistossa aloittavien matematiikan opiskelijoiden on vaikea nähdä eroa erilaisten matemaattisten perustelujen välillä.

Usein opettajat ja kurssikirjat käyttävät asioiden perustelemiseen sekä täsmällisiä todistuksia että epämuodollisempia, intuitioon tai kuviin vetoavia selityksiä. Molempia tarvitaan ja kokeneelle matemaatikolle on selvää, mistä on kulloinkin kyse. Opiskelijat sen sijaan saattavat hämmentyä asiasta, eikä heille muodostu selkeää kuvaa siitä, mitä todistamisella tarkoitetaan.

hattu6

Meille syntyikin idea todistushatusta, jonka avulla eritasoisten perustelujen eroa voi tehdä näkyvämmäksi. Luennoitsija käyttää hattua aina silloin, kun hän kirjoittaa täsmällisen perustelun jollekin väitteelle. Silloin, kun aiheesta puhutaan epämuodollisemmin, hattua ei käytetä.

Selvästikin todistushattu saa opiskelijat kiinnittämään huomiota perustelun eri tasoihin, sillä he huomauttavat hatun puuttumisesta, jos luennoitsija unohtaa laittaa sen päähänsä todistuksen alkaessa. Ja vähintääkin hattu herättää hyväntuulisuutta ja hupia luennoilla.

Johannax2

 

Mitä ajatteli nuori Gauss?

Kuuluisan saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin (1777–1855) kerrotaan hämmästyttäneen opettajaansa jo 9-vuotiaana matemaattisilla kyvyillään. Tarinan todenperäisyys on kuitenkin kaikkien historiallisten anekdoottien tapaan epäselvä. Tarinaa ja sen taustalla olevaa matematiikkaa on käsitelty mm. Matematiikkalehti Solmussa [1]. Tässä kirjoituksessa tarkastelen Gaussin (mahdollisesti) opettajaltaan saamaa tehtävää erilaisten näkökulmien — matematiikan eri ”maailmojen” — kautta.

Gaussin tehtävä

Gaussin kerrotaan olleen jo koulussa etevä laskija, ja opettaja joutuikin antamaan pienelle matemaatikonalulle runsaasti lisätehtäviä. Eräänä päivänä Gauss oli jälleen tehnyt kaikki annetut harjoitustehtävät, jolloin kyllästynyt opettaja käski hänen laskea yhteen kaikki kokonaisluvut yhdestä sataan eli summan 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. Opettaja tietysti odotti, että näin pitkän laskun laskeminen kestäisi jopa etevältä Gaussilta melko kauan, mutta eipä aikaakaan, kun Gauss oli kirjoittanut vastaukseksi 5050. Emme voi varmasti tietää, mitä Gauss oli ajatellut (jos kerrottu tarina on totta). Todennäköisesti hän oli keksinyt ”parittaa” yhteenlaskettavia seuraavasti:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51).

Silloin jokaisen parin summa on 101, ja pareja on yhteensä 50 kappaletta. Näin ollen tuloksen on oltava 50 * 101 = 5050. (Tämä päättely toimii, koska yhteenlaskettavia oli parillinen määrä.) Tulos voidaan yleistää koskemaan kaikkia luonnollisia lukuja (eli johtaa ”laskukaava” sille, miten lasketaan yhteen n kappaletta peräkkäisiä luonnollisia lukuja). Se, miksi tietty ”laskukaava” toimii, voi näyttäytyä meille monella eri tavalla. Mietinkin siis seuraavaksi edellistä esimerkkiä eri ”matematiikan maailmojen” näkökulmasta.

David Tallin matematiikan kolme maailmaa

Ajatellessamme matemaattisesti pyörittelemme usein – kuten äsken – numeroita ja muita matemaattisia symboleita. Toisaalta Gaussin saamaa laskutehtävääkin voisi symbolismin sijasta lähestyä myös konkretian tai formaalin matemaattisen teorian kautta. Nämä eri matemaattisen ajattelun aspektit ovat David Tallin matematiikan kolmen maailman näkökulman lähtökohdat [3]. Tallin jaottelu ei ole filosofinen positio tai teoria siitä, mitä matematiikka on, vaan yksinkertainen viitekehys sille, minkälaiset ajattelun aspektit ovat tai voivat olla läsnä, kun ihminen oppii matematiikkaa. Tallin matematiikan kolme maailmaa ovat

  1. käsitteellis-ruumiillinen/ilmenevä maailma (conceptual-embodied)
  2. proseptuaalis-symbolinen maailma (proceptual-symbolic) ja
  3. aksioomaattis-formaali maailma (axiomatic-formal).

Pyrin seuraavaksi avaamaan, mihin nämä vaikeat sanat viittaavat. Gaussin tehtävää aluksi miettiessäni päädyin siihen, että summa 1 + 2 + 3 + … + 100 on sama kuin 50*101. Luku 50 on puolet sadasta ja 101 on sama kuin 100+1. Yleisemmin voidaankin laskea n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen kaavalla

.

Miten tämä matemaattinen totuus voi meille näyttäytyä tai miten sen voi keksiä? Tallin ensimmäisen maailman näkökulmasta se voi näyttäytyä esimerkiksi seuraavanlaisen kuvan avulla.

Kuvassa summa 1 + 2 + 3 + 4 ruumiillistuu ja ilmenee punaisten tai sinisten ruutujen lukumääränä. Koska ruutuja on yhteensä 4*5 kappaletta ja lisäksi sinisiä ja punaisia ruutuja on yhtä paljon, on summan 1 + 2 + 3 + 4 pakko olla puolet tulosta 4*5. Voimme ”sielumme silmin” nähdä, että olipa ruutujen määrä mikä tahansa (n kappaletta), havaintomme pysyy samana: yhtälön

on pakko olla totta. Tallin ensimmäisessä maailmassa on siis kyse siitä, että matematiikkaa ymmärretään asioiden konkretisoituessa tavalla tai toisella (esineet, kuvat, mielikuvat, kehollinen kokeminen…). Tällaiset matematiikkakokemukset ovat mm. Varga–Neményi-menetelmän (eli ns. unkarilaisen matematiikan) ydintä [4]. 

Toisaalta asiaa voi ajatella symbolisesti Tallin toisen maailman näkökulmasta esimerkiksi merkitsemällä S = 1 + 2 + 3 + … + n ja ”laskemalla allekkain”:

________________________________________________

Siis on oltava 2S = n(n+1), mikä tarkoittaa että S = n(n+1)/2. Tämä matematiikan maailma näyttäytyy usein koulun matematiikan tunneilla ja myös korkeakouluissa matematiikkaa opiskellessa. Maailman nimessä esiintyvä sanaleikki ”prosepti” viittaa sanoihin process ja concept; ajattelemme symboleita pyöritellessämme sekä yhteenlaskun prosessia että lukujen yhteenlaskua käsitteenä.

Mikä sitten on Tallin kolmannen maailman näkökulma esiteltyyn summakaavaan? Aksiomaattis-formaalissa maailmassa katsotaan nimensä mukaisesti matematiikkaa siitä näkökulmasta, mikä olisi ns. formalistisen matematiikkakuvan mukaista matematiikkaa: matematiikka perustuu sovittuihin aksioomiin, joista johdetaan deduktiivisesti uutta tietoa. Tässä tarkasteltava väite koskee matemaattisen teorian näkökulmasta luonnollisten lukujen joukkoa. Luonnolliset luvut määritellään matemaattisessa teoriassa esimerkiksi ns. Peanon aksioomien avulla. Summakaavan väite voitaisiin formaalisti todistaa induktiotodistuksella, sillä Peanon aksioomissa on mukana ns. induktioaksiooma. Väite todistettaisiin toteamalla aluksi, että väite E(n), joka on yhtälö 1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 pätee, kun n=1. Tämä on itse asiassa melko helppo huomata, sillä

.

Tämän jälkeen todistettaisiin lause E(n) => E(n+1) (eli jos väite pätee arvolla n, niin se pätee myös arvolla n+1). Tämän jälkeen induktioaksiooman perusteella tulos pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla. Käyn läpi seuraavaksi myös myös ”jossittelulauseen” E(n) => E(n+1) todistuksen.

Oletetaan, että

.

Tällöin

.

Tallin ensimmäisessä ja toisessa maailmassa jouduin turvautumaan ”potentiaalisesti äärettömiin” todistuksiin saadakseni itseni vakuuttuneeksi kaavan oikeellisuudesta. Aksiomaattis-formaalissa maailmassa todistus on ”äärellinen” ja tuloksen yleistyminen kaikkia luonnollisia lukuja koskevaksi (vaikken jokaista tapausta voi koskaan erikseen käydä läpi) selittyy sillä, millaiseksi luonnollisten lukujen joukko ymmärretään matematiikan teoriassa.

Matematiikan kuusi osaa ja vuoropuhelu

Mikä äsken esitellyistä näkökulmista sitten on oikea tapa ajatella asiaa? Mielestäni mikään tapa ei ole sen enempää ”oikea” kuin toinen, vaan nämä kaikki voivat olla läsnä ajattelussamme. Puhuttaessa matemaattisesta ajattelusta ei tarvitse (eikä ehkä ole edes hyötyä) ottaa kantaa siihen, mitä matematiikka ontologisessa mielessä on, eli ovatko esimerkiksi matemaattiset oliot olemassa ”tuolla jossakin” (platonismi) vai onko matematiikka vain sääntöjä ja merkkijonoja (formalismi). Toimintamme on siitä riippumatta samanlaista.

Juha Oikkonen on ehdottanut Tallin kolmen maailman rinnalle matematiikan kahta puolta, jotka ilmenevät, kun matematiikkaa tehdään ”tässä ja nyt” [2]. Oikkonen jaottelee matematiikan sosiaalis-subjektiiviseen ja objektiivis-formaaliin puoleen. Oikkosen näkemys on, että matematiikan tekeminen on (parhaimmillaan) jatkuvaa vuoropuhelua näiden kahden puolen välillä. Kahtiajako yhdistettynä Tallin kolmijakoon näyttäisi itse asiassa tuottavan mielenkiintoisen ”matematiikan kuuden osan” näkökulman.

Jos piirrän Tallin ensimmäiseen maailmaan kuuluvan kuvan ymmärtääkseni summakaavan, on samaan aikaan käsissäni jotain objektiivista ja jotain subjektiivista. Kuva on objektiivinen siinä mielessä, että kaikki voivat sitä havainnoida ja se on muuttumaton. Toisaalta se, miten kuvassa nähdään matemaattisia ideoita, on subjektiivista. (Lukija voi vielä vilkaista kuvaa, jossa oli sinisiä ja punaisia ruutuja ja miettiä, millä tavoilla matemaattinen idea siinä näkyy.) Näin Tallin ensimmäisen maailman ilmiöt voidaan nähdä jakautuvan kahtia.

Tallin toiseen maailmaan kuuluvat laskusäännöt ovat jotain täysin objektiivista ja esimerkiksi aiemmin kirjoittamani laskut ovat siis objektiivisesti tosia. Toisaalta myös symboliseen toimintaan liittyy sosiaalis-subjektiivinen puoli; mm. oppijoiden muodostamat miniteoriat (eli ”omat laskusäännöt”) tuntuvat selvästi kuuluvan tähän. Miniteoriassa voi olla kyse esimerkiksi ”väärästä yleistyksestä”. Koska

,

voisi paremman tiedon puuttuessa tulla ajatelleeksi että pätee myös

.

Tällaiset miniteoriat ovat luonteeltaan vahvasti subjektiivisia: oppija rakentaa ne itse.

Aksiomaattis-formaaliin maailman taas ajattelisi olevan oikeastaan täysin objektiivista. Mutta myös siihen liittyy sosiaalis-subjektiivinen puoli. Tätä edustaa esimerkiksi matemaatikkojen strateginen metatason keskustelu: ”Voisimme käyttää ajatuksia X,Y ja Z asian Ö todistamiseksi.” Esimerkiksi tällainen keskustelu on osa matematiikan tekemisen (sosiaalis-subjektiivista) prosessia erona objektiivisille matemaattisille tuloksille.

Kaikkein opettavaisinta tässä kaikessa lienee se, että matemaattisen ajattelun ja keksimisen prosessi voi liikkua useilla eri tasoilla. On monta tapaa ”kokea matematiikkaa” ja tehdä sitä itselleen ja muille mielekkääksi. On sääli, jos koulussa matematiikan oppiminen jää pelkäksi merkityksettömäksi symbolien pyörittelyksi.

 

Viitteet:

[1] Matematiikkalehti Solmu. http://solmu.math.helsinki.fi/2008/diplomi/gauss.pdf (13.3.2013)

[2] Oikkonen, J. (2004). Mathematics between its two faces, Matemaattisten aineiden opettajan taitotieto – haste vai mahdollisuus, L. Jalonen, T. Keranto and K. Kaila (toim.), University of Oulu, Finland, pp. 23-30, ISBN 951-42-7886-0.

[3] Tall, D. (2004). Thinking through three worlds of mathematics, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Bergen, Norway, 4, 281–288.

[4] Varga–Neményi – yhdistys ry. http://www.varganemenyi.fi/includes/menetelma.php (13.3.2013)