Helsingin yliopisto
Mitä matematiikassa pitää osata ja mitä silloin opitaan?
Matematiikan osaaminen on kykyä muotoilla, käyttää ja tulkita matematiikkaa eri tilanteissa. Matematiikan osaamiseen kuuluvat matemaattinen päättely, sekä matemaattisten tietojen, käsitteiden, menetelmien ja välineiden käyttäminen ilmiöiden kuvaamisessa, selittämisessä ja ennustamisessa.
Matematiikan oppimisessa käsitteiden ja prosessien oppiminen käyvät rinnakkain toisiaan täydentäen. Monet matemaattiset käsitteet sisältävät myös prosessin. Esimerkiksi symmetria voidaan ymmärtää sekä geometrisen muodon ominaisuudeksi, että yhtä lailla itse prosessiksi esimerkiksi peilautumiseksi. Samoin abstrakteja käsitteitä kuten luku ja funktio voidaan tarkastella joko objekteina tai prosesseina. Kaksi usein käytettyä näkemystä matematiikan oppimisesta ovat Anna Sfardin (1991) esittämä ”matemaattisten käsitteiden kaksitahoinen luonne” ja David Tallin (2004) ”kolme matematiikan maailmaa”.
Sfard esittää, että käsitteenmuodostusprosessissa toiminnallinen käsitys edeltää rakenteellista. Kun piirrämme funktion kuvaajan, se on vain eräs useista tavoista kuvata abstraktia käsitettä, jota emme kykene näkemään tai tunnustelemaan. Itse asiassa eräs oleellinen osa matemaattista osaamista on kyetä “näkemään” nämä näkymättömät oliot. Toiminnallinen käsitys syntyy siis prosessin tuloksena ja sitä tukee sanallinen kuvailu. Sfardin mukaan se on edellytys ongelmanratkaisutaidon kehittymiselle.
Tall kuvaa matemaattisten käsitteiden ja prosessien oppimista kolmen matematiikan maailman avulla. Ensimmäinen näistä on koettu matematiikan maailma. Tässä maailmassa jokin on totta, koska se voidaan nähdä totena. Näin on esimerkiksi aritmetiikassa, jossa jokin väite voidaan osoittaa todeksi laskemalla. Toinen maailma on matematiikan symbolien maailma. Tässä maailmassa jokin on totta, kun se voidaan osoittaa symbolisen manipulaation keinoin todeksi. Näin on esimerkiksi algebrassa. Kolmas maailma on formaali matematiikan maailma, jossa jokin on totta, koska se toteuttaa aksiooman, määritelmän tai se voidaan todistaa oikeaksi. Matematiikan oppimisprosessissa oppija kulkee näiden maailmojen välillä ja joutuu pohtimaan aikaisempia käsityksiään. Tässäkin ajatusten kielentämisellä on tärkeä rooli.
Millaista kieltä matematiikan oppimisessa tarvitaan?
Matematiikan tehtävien kieli on oppijoille usein vaikeaa. Se kuulostaa vanhahtavalta ja eroaa arkikielestä monessakin mielessä. Se sisältää outoja ja vähän käytettyjä, ei-matemaattisia sanoja kuten ”merkitty yhtäsuuruus”, joilla on tietty merkitys, mutta jotka kuulostavat omituisilta. Matematiikan kieltä kirjoitetaan myös passiivissa ”murtoluvut lavennetaan samannimisiksi” ikään kuin kukaan ei todellisuudessa olisi tekemässä mitään. Monet käsitteet, jotka yrittävät olla yksiselitteisiä, kuten ”ympyräpohjainen lieriö” tai ”yhdensuuntainen suora”, ovat uskomattoman pitkiä. Teksti vilisee konditionaaleja ja relatiivilauseita, monimutkaisia kysymyslauseita ja persoonattomia ilmauksia. (Abedi & Lord, 2001.)
Esimerkkinä matematiikan kielestä seuraava PISA2012-tehtävä (PM921Q04):
Ovatko seuraavat näitä kolmea pingviinilajia koskevat väittämät yllä olevan diagrammin perusteella oikein vai väärin?
Vuonna 2000 keskimääräinen poikasluku pingviinipariskuntaa kohden oli suurempi kuin 0,6.
Vuonna 2006 keskimäärin vähemmän kuin 80 % pingviinipariskunnista kasvatti poikasen.
Noin vuoteen 2015 mennessä nämä kolme pingviinilajia ovat kuolleet sukupuuttoon.
Patagonianpingviinin keskimääräinen poikasluku pingviinipariskuntaa kohden aleni vuosien 2001 ja 2004 välillä.
Matematiikan kieli on siis muutakin kuin semantiikkaa, erityissanastoa, uusia sanoja ja uusia merkityksiä tutuille sanoille ja teknisille termeille. Matematiikan kielellä on oma diskurssinsa, syntaksinsa ja käytänteensä. (Riordain & Mccluskey, 2015.)
Matematiikan kieli oppitunnilla
Moschkovich (2007, 2012) kuvaa matematiikan oppitunnin diskurssia monimuotoiseksi ja tilannesidonnaiseksi. Matematiikan kieli näyttäytyy oppilaalle monin tavoin: suullisena, kirjallisena, ulkoa omaksuttuna ja itse tuotettuna. Se sisältää matemaattisia olioita, kuvia, sanoja, symboleja, taulukkoja ja kaavioita.
Matemaattiset tekstit voivat olla oppikirjan tekstiä, sanallisia tehtäviä, oppilaan kirjallisia selityksiä ja opettajan kirjoitettua tekstiä. Matematiikan puhuttu kieli voi erota sen mukaan onko se yleistajuista vai tiedonalakohtaista ja mille kohdeyleisölle se on suunnattu, opettajalle vai oppilaille ja kuka sen on tuottanut, opettaja vai oppilas. (Moschkovich, 2007, 2012.)
Erityisesti tutkimuksissa on havaittu, että kaksikieliset oppilaat käyttävät kommunikoidessaan matematiikasta runsaammin eleitä ja kuvailevia elementtejä kuten kaavioita (Ng, 2016). Visuaaliset esitykset voivatkin menestyksekkäästi tukea matematiikan oppimista, jos ne ovat selkeitä ja niiden merkitys käy ilmi muusta matemaattisesta ilmaisusta (Truxaw & Rojas, 2014).
Lisäksi kaksikieliset oppilaat vaihtavat oman äidinkielensä ja opetuksen kielen välillä sen mukaan, mitkä käsitteet ja prosessit ovat tulleet tutuiksi milläkin kielellä. Planas ja Setati (2009) havaitsivat, että tyypillisesti oppilaat ratkaisivat ongelmatehtävät omalla äidinkielellään, mutta selittivät ratkaisunsa opetuskielellä.
Kun haluamme vahvistaa matematiikan käsitteiden oppimista, meidän on huomioitava, että kyse on kokonaisuudesta, joka sisältää sekä kielellistä, matemaattista, visuaalista että kontekstuaalista informaatiota. Matemaattinen merkitys rakentuu tilanteisesti: tekstilajille tyypilliset kiteytymät opitaan ulkoa, sanallisten tehtävien tukena käytetyt kuviot toistavat kielellisen informaation visuaalisesti ja kontekstuaaliset piirteet tukevat ymmärrystä.
Lähteet:
Abedi, J., & Lord, C. (2001). The language factor in mathematics tests. Applied Measurement in Education, 14(3), 219-234.
Moschkovich, J. (2005). Using two languages when learning mathematics. Educational Studies in Mathematics 64, 121–144.
Moschkovich, J. (2007). Using two languages when learning mathematics. Educational studies in Mathematics, 64(2), 121–144.
Moschkovich, J. (2012). Mathematics, the Common Core, and language: Recommendations for mathematics instruction for ELs aligned with the Common Core. Understanding language: Commissioned papers on language and literacy issues in the Common Core State Standards and Next Generation Science Standards (pp. 17–31).
Ng, O. L. (2016). The interplay between language, gestures, dragging and diagrams in bilingual learners’ mathematical communications. Educational Studies in Mathematics, 91(3), 307-326.
Planas, N. & Setati, M. (2009), Bilingual Students using their Languages in the Learning of Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 21(3), 36–59.
Riordain, M. N., & Mccluskey, A. (2015). Bilingual mathematics learners, conceptual mathematical activity and the role of their languages. How best to investigate? In CERME 9-Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 1454–1460).
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in mathematics, 22(1), 1–36.
Tall, D. (2004). Thinking through three worlds of mathematics. Teoksessa Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, s. 281-288).
Truxaw, M. P., & Rojas, E. D. (2014). Challenges and affordances of learning mathematics in a second language. Journal of Urban Mathematics Education, 7(2), 21–30.
Päivi Portaankorva-Koivisto on filosofian tohtori, joka työskentelee Helsingin yliopiston kasvatustieteellisessä tiedekunnassa matematiikan didaktiikan yliopistonlehtorina. Häntä kiinnostavat erityisesti matematiikan opetuksen elämyksellisyyteen vaikuttavat asiat kuten matematiikan kokemuksellisuus, havainnollisuus, tutkimuksellisuus, kielenomaisuus ja vuorovaikutuksellisuus.