Antti Kupiainen — matematiikan huipulla ja fysiikan peruskysymysten äärellä

Teksti: Jani Lukkarinen

Antti Kupiainen johtaa  Matemaattisen fysiikan tutkimusryhmää Helsingin yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen osastolla, hän on toiminut useita kausia akatemiaprofessorina ja saanut kahdesti European Research Councilin (ERC) myöntämän Advanced Grant miljoona-apurahan.  Kuinka lähes 30 vuotta matematiikan professorina toiminut, matematiikan alan Suomen Akatemian huippuyksikön johtaja ja yksi harvoista kahdesti matematiikan maailmankongressiin (International Congress of Mathematicians, ICM) kutsutuista puhujista tulee  luetuksi myös merkittävien suomalaisten fyysikoiden joukkoon?

Antti Kupiainen on matematiikan professori. Useat hänen tutkimuskohteistaan käsittelevät merkittäviä fysiikan avoimia ongelmia (kuva: Jani Lukkarinen)

Antti Kupiainen valmistui diplomi-insinööriksi Teknillisestä korkeakoulusta (nykyään osa Aalto-yliopistoa), väitteli tohtoriksi  25-vuotiaana Princetonin yliopistosta Yhdysvalloissa, ja ennen paluutaan Suomeen työskenteli siellä Harvardin ja Rutgersin yliopistoissa.  Ehkä yksi tärkeä osa vastausta onkin tuo varhainen sukellus keskelle  kansainvälistä tutkimusympäristöä, jossa keskitytään fysiikan ongelmien ratkomiseen matemaattisesta tarkkuudesta tinkimättä.  Princetonissa sijaitsee myös tutkimuslaitos Institute for Advanced Study (IAS), jossa Antti on ollut useita kertoja vierailevana tutkijana.  IAS oli Albert Einsteinin työskentelypaikka hänen elämänsä loppuvuosina ja monet muutkin matemaattisen fysiikan keskeiset tutkijat (esimerkiksi John von Neumann, Hermann Weyl ja Eugene Wigner) ovat vaikuttaneet siellä.

Useat Antin siteeratuimmista julkaisuista käsittelevätkin fysiikan avoimia ongelmia.  Monet niistä koskevat hiukkasfysiikassa tärkeää renormalisaatiota, erityisesti skaalausmuunnoksista syntyvää renormalisaatioryhmää, ja sen sovelluksia spinsysteemien faasimuutoksissa ja konformikenttäteorioissa.  Tulokset sisältävät läpimurtoja koskien kvanttikenttäteorioiden matemaattisesti konsistenttia määrittelemistä — määritelmäongelman ratkaisusta toivotaan apua uusien entistä tarkempien pienten skaalojen teorioiden kehittelyssä.

Toinen tärkeä juonne Antin tutkimuksessa on statistinen mekaniikka, erityisesti sen perusteisiin kuuluva kysymys makroskooppisen diffuusion ja normaalin lämmönjohtavuuden syntymisestä.  Tuloksia löytyy esimerkiksi virtausdynamiikassa esiintyvästä turbulenssista sekä satunnaisympäristössä liikkuvan satunnaiskävelijän diffuusiosta. Yksi fysiikassakin paljon keskustellun ongelman ratkaissut tulos oli Krzysztof Gawȩdzkin kanssa tehty todistus niin sanotun passiiviadvektiomallin korrelaatioiden skaalautumisesta.  Tämä oli ensimmäinen matemaattinen johto turbulenssin kaoottisesta ajoittaisuudesta (intermittency) ja se auttoi laajemminkin ymmärtämään ilmiön teoreettista perustaa.  Tulos myös osoitti, että muutkin kuin Kolmogorovin skaalauseksponentit voivat esiintyä turbulenteissa malleissa, päinvastoin kuin tuolloin laajalti odotettiin.  Dynaamiset systeemit ja fysiikan osittaisdifferentiaaliyhtälömallit ovat yleisemminkin olleet hänelle tärkeitä tutkimuskohteita.

Antti on laajasti arvostettu ja pidetty henkilö, jolla on ollut useita kansallisia ja kansainvälisiä luottamustehtäviä.  Hän on toiminut monien alansa keskeisten julkaisusarjojen editorina ja esimerkiksi matemaattisen fysiikan kansainvälisen järjestön  International Association of Mathematical Physics (IAMP) presidenttinä vuosina 2012-2014.

Antilla on harvinaisen monipuolinen kiinnostus matematiikkaa ja fysiikkaa kohtaan, ja hän mielellään keskustelee hyvin moninaisista ongelmista erilaisista lähtökohdista tulevien tutkijoiden kanssa.  Tästä osoituksena sekin, että Antin oppilaista monet ovat päätyneet hyvin erilaisille poluille tieteessä ja sen ulkopuolella.

Mutta mistä saisi kysymykseen parempaa vastausta kuin Antilta itseltään?

“Luetko itsesi matemaatikoksi vai fyysikoksi?  Onko rajanveto edes tarpeen?”

Antti: Kyllä rajanveto matematiikan ja fysiikan välillä on tarpeen. Matematiikassa viime kädessä ainoa validi perustelu väitteille on täsmällinen todistus kun taas fyysikolla ei ole varaa tällaiseen ylellisyyteen. Lev Landau totesi löydettyään “Landaun navan”, josta seuraisi, että kvanttielektrodynamiikka ei ole konsistentti hyvin
korkeilla energioilla, että ihmiselämä on liian lyhyt sille että hänen kannattaisi kaikkia tällaisia väitteitä todistaa. Kvarkkien kahliutuminen ja Navier-Stokes yhtälöiden ratkaisujen sileys ovat matematiikan miljoonan dollarin ongelmia, mutta fyysikot ottavat ne annettuina kunnes joku esittää vastakkaista evidenssiä. Itse olen tehnyt pääasiassa tuota matemaatikon työtä eli todistamista, mutta olen myös tehnyt noita fysiikan “vakuuttavia argumentteja” turbulenssin ja konformikenttäteorioiden aloilla.

“Miten päädyit tekemään juuri matemaattista fysiikkaa?”

Antti: Varmaan samalla tavalla kuin moni muu matemaattinen fyysikko eli en osannut opiskeluaikoina päättää kumpi kiinnostaa enemmän, matematiikka vai fysiikka. Myös sattumilla oli osansa tässä: joskus lukioaikoina lukemani fysiikan populaariesitys pani kytemään ajatuksen, että kenttäteoria on jotain jota olisi hienoa ymmärtää, vaikkei minulla tietenkään siinä vaiheessa ollut harmainta aavistusta mitä se on. Päädyin Otaniemeen lukemaan teknistä fysiikkaa ja siellä Stig-Olof Londen sai minut innostumaan funktionaalianalyysistä ja nämä kaksi kiinnostuksen kohdetta sitten veivät jatko-opintoihin Princetoniin, joka oli tuolloin 70-luvun lopulla yksi matemaattisen fysiikan keskuksia.

“Mitä itse pidät merkittävimpinä tutkimustuloksinasi?”

Antti: Urani alkuajoilta ehkä satunnaisen magneettikentän Ising-mallin kriittisen dimension määrittäminen, keskivaiheilta turbulentin advektion anomaalisen skaalauksen osoittaminen ja viime vuodelta Liouville kvanttigravitaation integroituvuuteen liittyvä tulos.

 “Ongelmien ratkaisu täysin matematiikan sääntöjä seuraten vaatii paitsi suurta huolellisuutta usein myös huomattavasti enemmän työtä ja joskus myös selvästi ‘epäfysikaalisten’ tapausten käsittelyä.  Miksi (tai milloin) tämä kannattaa?”

Antti: Tulee mieleen ainakin neljä tapausta: silloin kun väite on kiistanalainen fyysikkojen keskuudessa, silloin kun siihen uskotaan esimerkiksi numeriikan perusteella mutta todellinen ymmärrys puuttuu, silloin kun olemassa olevat argumentit ovat liian heuristisia ja silloin kun se on matemaattisesti kiinnostava.  Ensimmäisestä voisi olla esimerkkinä tuo Ising-malli satunnaiskentässä: kriittisestä dimensiosta jopa äänestettiin eräässä alan konferenssissa. Toisesta tapauksesta käy edellä mainittu kvarkkien kahliutuminen: sille on vahvaa numeerista evidenssiä mutta aika vähän kunnollisia argumentteja. Navier-Stokes yhtälöiden ratkaisujen sileys on kiinnostava matemaattinen ongelma, jolle negatiivinen tulos olisi varmasti sensaatiomainen myös fyysikoille.  Onkin kiinnostavaa, että eräät alan asiantuntijat ovat kallistumassa tälle kannalle!  Samoin tuo Landaun ongelma on fundamentaalinen kysymys, johon vain matemaattinen todistus voi antaa lopullisen vastauksen. Varmasti myös fyysikkoja kiinnostaa, että samalle ongelmalle skalaarikenttäteoriassa on hiljattain saatu todistus: vain vapaa kenttä on konsistentti fysikaalisessa 4- ulotteisessa avaruusajassa. Tätä voi pitää lelumallina QED:n ongelmalle, mutta onhan Higgsin kenttä esimerkki fysikaalisesta skalaarikentästä. Kun Kenneth Wilson loi renormalisaatioryhmäteorian selittämään kriittisten ilmiöiden universaalisuutta piti hän sitä niin heuristisena ideana, että hän käytti paljon aikaa sen todistamiseen, että teoria toimii edes yhdessä epäfysikaalisessa lelumallissa. Nämä lelumallit ovat tärkeitä ja joskus niiden tutkimiseen kannattaa käyttää paljonkin aikaa.

“Usein sanotaan, että fysiikan ongelmat ovat tuoneet matematiikkaan uusia mielenkiintoisia ongelmia ja tekniikoita.  Tuleeko mieleesi esimerkkejä tästä?  Onko urallasi joskus käynyt myös toisin päin, eli ovatko puhtaan matematiikan menetelmät tuoneet myös jotain uutta fysiikkaan?”

Antti: Tietenkin iso osa klassista matematiikkaa ja fysiikkaa kehittyivät tiiviissä vuorovaikutuksessa ja tämä jatkui osin myös suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan alkuaikoina. Oman urani aikana tapahtui topologian ja geometrian tulo fysiikkaan mittakenttäteorioiden synnyn myötä. Tällä oli valtava merkitys matematiikassa algebrallisessa geometriassa ja esitysteoriassa. Fysiikassa tietenkin tätä kehitystä vei eteenpäin säieteoria ja kun osoittautui, että se ei onnistunut lunastamaan lupauksiaan “kaiken teoriasta”, syntyi fysiikan piirissä ehkä jonkinlainen vastareaktio. Topologiset ideat ovat kuitenkin olleet merkittävässä roolissa kiinteän aineen teoriassa kuten hiljattainen Nobel-palkintokin osoittaa.

Analyysissä ja todennäköisyysteoriassa fysiikan teorioilla on viime vuosikymmeninä ollut myös suuri merkitys. Fyysikot johtivat 80-luvulla konformikenttäteorian keinoin valtavan määrän eksakteja ennusteita kaksiulotteisen tilastollisen mekaniikan malleille ja tämä on inspiroinut kompleksianalyysiä ja stokastista analyysiä. Sittemmin matemaatikot Oded Schrammin johdolla kehittivät aivan uuden tavan tutkia näissä kriittisissä systeemeissä esiintyviä satunnaisia fraktaaleja. Tässä on ollut hedelmällistä vaikutusta molempiin suuntiin. On syntynyt uusi tieteenala, satunnaisgeometria, joka inspiroi niin matemaatikkoja kuin fyysikoitakin. Toinen tällä hetkellä itseäni lähellä oleva ala on epätasapainoilmiöiden teoria. Fysiikassa alunperin kehitetty renormalisaatioteoria on osoittautunut hyvin hyödylliseksi näitä ilmiöitä kuvaavien stokastisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa.

“Miltä matemaattisen fysiikan tulevaisuus näyttää?  Mitkä ongelmat vaikuttava juuri nyt kiinnostavilta ja missä voisi olla odotettavissa läpimurtoja?”

Antti: Ainakin näin matematiikan perspektiivistä se näyttää hyvältä. Matemaattinen fysiikka ja fysiikan inspiroima matematiikka ovat olleet vahvasti esillä esimerkiksi viime aikojen Fieldsin mitalistien töissä ja alalla on maailmalla paljon nuorta lahjakasta porukkaa. Myös täällä Suomessa ala on hyvin edustettuna ja sen vuorovaikutus analyysin ja stokastiikan kanssa on vahvaa. Uskoisin, että tuo vuorovaikutus tulee jatkumaan myös lähitulevaisuudessa esimerkiksi edellä mainitsemissani satunnaisgeometriassa ja stokastisissa yhtälöissä. Itselleni läheisistä aloista voisi mainita myös kriittiset ilmiöt kolmessa dimensiossa ja vahvasti vuorovaikuttavat kenttäteoriat. Näissä on teoreettisen fysiikan piirissä saavutettu huomattavaa edistystä sekä konseptuaalisesti että numeerisesti ja olisi hienoa pystyä luomaan matemaattinen pohja näille “bootstrap” -ideoille.

“Miten haluaisit neuvoa fysiikan opiskelijaa, joka on kiinnostunut tekemään tutkimusta matematiikasta tinkimättä?  Entä matematiikan opiskelijaa, joka on kiinnostunut fysiikan ongelmien ratkaisemisesta?”

Antti: Ensinnäkin, molempia neuvoisin hankkimaan hyvät perustiedot. Fyysikoilla saattaa olla kiire opiskella heti edistynyttä matematiikkaa pelkillä fysiikan matemaattisten menetelmäkurssien esitiedoilla. On paljon tärkeämpää opiskella “helppoja” asioita kunnolla, jotta saa kuvan mitä matemaattinen todistaminen tarkoittaa. Matematiikan kursseilla taas laskeminen jää aika vähiin ja siksi matemaatikoiden on tärkeää keskittyä tähän aspektiin fysiikassa. Fysiikkaa on mahdotonta oppia ilman sitä. Toiseksi, täytyy olla aidosti kiinnostunut molemmista aloista ja valmis vaihtamaan tutkimusaiheita joskus hyvinkin eri aloille. Minua kiehtoo matemaattisessa fysiikassa se, että siinä voi ja usein pitääkin melko vapaasti siirtyä aihepiiristä toiseen. Tällä alalla menestyneet omaavat “bag of tricks” -ideapankin, jota voi yrittää soveltaa mitä erilaisimpiin ongelmiin. Kiehtovaa tässä on se, että siinä pääsee tutustumaan samalla eri tieteenaloihin sisältä päin. Mikäänhän ei ole parempi tapa oppia uutta asiaa kuin ryhtyä tekemään tutkimusta sen piirissä. Matemaattisen fysiikan menetelmien sovellukset eivät ole pelkästään fysiikassa vaan yhä enemmän myös biologiassa, koneoppimisessa, yms.

Leave a Reply

Your email address will not be published.