Hanoin torni ja tutkiva oppiminen

Teksti: Tinja Seppälä

”Hanoin tornin mysteeri väitetään pohjautuneen legendaan Hindutemppelistä, jossa palapelejä käytettiin nuorten pappien kurinalaisuuden parantamiseksi. Legendassa papeille annettiin 64 kultalevyä, jotka olivat pinottu siististi yhteen pylvääseen kolmesta. Jokainen levy lepäsi hieman suuremman levyn päällä. Pappien tavoitteena oli luoda pino uudelleen eri pylvääseen siirtämällä levyjä yksi kerrallaan toiseen pylvääseen niin, että isompaa levyä ei koskaan voitu sijoittaa pienemmän levyn päälle. Vaikka papit olivat tehokkaita ja siirsivät levyjä tahdilla yksi per sekunti, niin työn suorittamiseen olisi mennyt silti melkein 585 miljardia vuotta – yli 40 kertaa maailmankaikkeuden iän verran! Matematiikan avulla voidaan löytää tehokkain ratkaisu Hanoin tornin ratkaisemiseksi, ja tämän säännön keksi ranskalainen matemaatikko Édouard Lucas 1800-luvulla.”

HANOIN TORNIN RATKAISUEHDOTUS

Hanoin torni voidaan kuulemma ratkaista matematiikan avulla, vau! Mutta miten? Tutkitaan tätä…

Millä tahansa määrällä levyjä voidaan teoriassa (käytännössä suurilla levymäärillä ratkaisuun saattaa mennä toivottoman paljon aikaa) ratkaista Hanoin torni, mutta vähimmäismäärä levyjä Hanoin tornin palapelin ratkaisemiseksi on 2n-1, missä n on levyjen lukumäärä. Taulukko levyjen ja siirtojen lukumäärän yhteydestä löytyy alempaa.

Lähde: Summamutikka materiaalipankki
Lähde: Summamutikka materiaalipankki

Hanoin tornin yksinkertainen eli iteratiivinen ratkaisu on se, että vaihdetaan vuorotellen pienimmän ja ei-pienimmän levyn paikkaa. Toisin sanoen, kun siirretään pienintä levyä, niin siirretään se aina seuraavaan kohtaan samansuuntaisesti (oikealle, jos kappaleiden aloitusmäärä on parillinen, ja vasemmalle, jos kappaleiden aloitusmäärä on pariton.) Esimerkiksi, jos aloitat kolmella levyllä, siirrä pienin levy vastakkaiseen päähän ja jatka sitten sen jälkeen toiseen suuntaan. Muitakin ratkaisukeinoja on olemassa, mutta yksinkertaistettuna voidaan käyttää tätä algoritmia ratkaisuun. (ks. yllä olevat kuvat ratkaisun hahmottamiseksi)

Taulukko palikoiden ja siirtojen lukumäärän yhteydestä.

HANOIN TORNIN TARKASTELUEHDOTUS OPPILAIDEN KANSSA

Tutkivan oppimisen ja ilmiöpohjaisuuden lähtökohtina ovat todelliset maailmanilmiöt, joita tarkastellaan sellaisinaan aidossa kontekstissa. Tutkiva oppiminen ei ole pelkästään menetelmä, vaan ajattelutapa, jossa oppiminen tähtää ymmärtämiseen sekä ilmiöiden selittämiseen. Oppimisprosessissa lähdetään liikkeelle ongelmanratkaisun näkökulmasta eli tietoisen pohtimisen kautta. Oppilasta voidaan ohjata kohdistamaan huomiota keskeisiin käsitteisiin ja perustaviin ideoihin, mutta perusideana on, että oppiminen ja oivaltaminen lähtee oppilaasta itsestään.

Hanoin tornia voidaan lähteä tarkastelemaan niin, että joko digitaalisten työkalujen tai konkreettisen Hanoin tornia muistuttavan rakennelman avulla tarjotaan ensin oppilaille mahdollisuus tarkastella palapeliä pienissä ryhmissä omaan tahtiin. Pikkuhiljaa sääntöjä voidaan lisätä tarkastelun lisäksi ja tueksi, jonka jälkeen oppilaat voivat alkaa keksiä säännönmukaisuuksia, joilla Hanoin tornin palapeli voitaisiin kenties ratkaista. Nopeimmat voivat alkaa myös miettiä sitä, että kuinka monta siirtoa on minimimäärä tietyillä levymäärillä. Tässä käytettäisiin lähtökohtana tutkivaa oppimista, joka muun muassa kehittää oppilaiden ongelmanratkaisutaitoja ja saattaa lisätä mielenkiintoa tarkasteltavaa aihetta tai teemaa kohtaan. Kuitenkin lopuksi olisi hyvä varata aikaa perusteelliselle keskustelulle ja ratkaisuehdotuksille, sillä on tärkeää, että oppilaat oppivat asioita niin, että opiskeltu asia kytkeytyy lapsen ajatteluun ja oppimiseen, mutta samalla syrjäyttäen virheelliset käsitykset aiheesta, joita saattaa muodostua tutkivan lähestymistavan kautta. Tämän vuoksi on tärkeää tunnistaa ja ennaltaehkäistä mahdollisia virhekäsityksiä perusteellisen jälkipuinnin kautta. Kaiken kaikkiaan uskon, että tutkiva ja ilmiöpohjainen lähestymistapa on oiva keino tutkia Hanoin tornin mysteeriä oppilaiden kanssa.

Hanoin tornia voi virtuaalisesti tutkia esimerkiksi tästä linkistä.

Kuvia vai numeroita etävierailu

Teksti: Harri Perälä

Pidin ohjauskerran aiheesta Kuvia vai numeroita?, koska olin itse Matematiikkaa kaikkialla kurssilla tutustunut aiheeseen Samuli Siltasen loistavan luennon avulla, niin koin aiheen mielenkiintoisimmaksi itselleni. Olen kokenut, että tämä auttaa oppilaiden oppimista, kun opettajakin on aidosti innoissaan aiheesta. Tunnin suunnittelu sujui hyvin työparini kanssa, koska molemmat olivat tahoillaan tutustunut aiheeseen ennen yhteistä tapaamistamme, sekä koska olin jo kerran suunnitellut lähiopetuskerran, mutta se valitettavasti peruuntui vallitsevan tilanteen takia.

Itse ohjauskerta aloitettiin katsomalla video liittyen aiheeseen, teknisten ongelmien ratkaisemisen jälkeen, tietysti itse Samuli Siltaselta  ja tämän jälkeen keskusteltiin aiheesta ja siitä mitä ajatuksia video herätti oppilaissa. Suurin osa oppilaista vaikutti kiinnostuneilta aiheesta ja pohdimme samalla ennakkotehtävän kysymyksiä, eli vastauksia seuraaviin kysymyksiin: Pohtikaa yhdessä voiko matematiikka olla taidetta tai voiko taiteessa olla matematiikkaa? Oletteko joskus nähneet matikan tunneilla jotain kaunista tai oletteko ehkä käyttäneet matematiikkaa hyväksi kuvaamataidon tunneilla? Osa oppilaista oli käyttänyt viivotinta kuvaamataidon tunneilla ja näin ollen numeroita hyväkseen. Osa taas mietti, miten matematiikan tunneilla voi olla mitään kaunista ja miten numerot muka voisivat olla kauniita.

Tämän jälkeen työparini kävi läpi diat läpi siitä, miten lasketaan kuvien pikseleitä yhteen ja mitä bitit ovat. Itse yhteenlasku on helppo ja oppilaat pääsivät ratkomaan tehtävämonistetta. Tästä varsinkin oppilaat tykkäsivät, koska hekin pääsivät osallistumaan kunnolla. Saimmekin paljon kysymyksiä “kai tää on oikein” ja suurimmalla osalla ne olivatkin heti oikein. Muutaman virheen huomasimme ja oppilaat olivatkin heti hereillä ja ihmettelivät, että ei tämä näin voi mennä.

Sitten pääsin itse vauhtiin ja pääsin opettamaan pienintä yhteistä jaettavaa seiskaluokkalaisille, koska he eivät olleet vielä sitä luokassa opetelleet ja se on tärkeä työkalu jaollisuushorisontteja käsitellessä. Aluksi hieman jännitti, koska asia oli aivan uusi oppilaille, mutta onneksi se meni todella hyvin ja oppilaat osasivat jo valmiiksi hahmottaa asian. Tämän jälkeen pääsimme itse jaollisuushorisontteihin. Jaollisuushorisontti kuvat ovat ensimmäisellä kerralla erittäin epäselviä, myös näin vanhemmalle opiskelijalle ja käytettiin suunnitellessa aika paljon aikaa niiden ymmärtämiseen. Jaoin omalta näytöltäni kuvat jaollisuushorisonteista ja oppilaat ymmärsivät heti mistä on kyse ja olin hyvin yllättynyt, kuinka hyviä seiskaluokkalaiset ovat hahmottamaan näinkin abstrakteja asioita. Lopuksi vielä oppilaat saivat piirtää omia jaollisuushorisonttejaan ja näyttää niitä meille kameran välityksellä.

Kuvassa on esimerkki jaollisuushorisontista (Lähde: Summamutikan materiaalipankki)

Oppitunti meni erittäin hyvin ja olin erittäin yllättynyt kuinka oppilaat osasivat asioita, jotka tulevat vasta myöhemmin opetussuunnitelmassa. Ohjaus itsessään oli aluksi haastavaa ja jännittävää, koska tämä oli itselleni ensimmäinen ohjauskerta ja se oli vielä etänä. Etätoteutus onneksi luonnistui erittäin hyvin, eikä oikeastaan eronnut lähiohjauksesta mitenkään. Kuri ja kiinnostus oli ehkä helpompi säilyttää, koska luokassa oli vielä oma opettaja, joka oli erittäin avulias ja sai luokkansa keskittymään asiaan.

Salakirjoituksia etäohjauksena

Teksti ja kuvat: Heini Auvinen

Ohjausten toteuttaminen etänä on tuonut mukanaan omat haasteensa ohjaamiseen liittyen. Suunnitelmia on pitänyt hiukan sovellella etäilyyn sopiviksi. Kuitenkin kaikki on sujunut yllättävän vaivattomasti. Palataan kuitenkin vielä ihan alkuun, aikaan ennen ensimmäistä ohjauskertaa.

Etäopetus on ollut kevään ja syksyn teema. Keväällä kaikki mahdollinen siirtyi etätyöskentelyyn niin ryminällä, ettei meinannut pysyä perässä. Nyt, kun itsellänikin on kokemusta etäohjaamisesta, voin sanoa, ettei siirtyminen tähän ollut helppoa. Etäopetuksessa on vaikeampaa saada kontakti oppilaisiin. Sosiaalinen kanssakäyminen ja oppilaat huomioon ottaminen on vaikeampaa teknologian välityksellä. Ensimmäistä ohjauskertaani helpotti kuitenkin se, että luokka ei ollut tällöin etäopetuksessa. Säästyimme siis ongelmilta teknologian kanssa, eikä oppilaiden tarvinnut liittyä Zoomiin omilla koneillaan, joka olisi saattanut aiheuttaa ongelmia teknologian suhteen. Tällöin myös helpottavaa oli se, että opettaja pystyi pitämään kontrollia luokassa ja valvomaan oppilaita. Opettajan kanssa kommunikointi toi hyvän lisän ohjaukseen, sillä opettaja pystyi välittämään myös osittain, että mikä tuntui vaikealta ja mikä helpolta. Tämä oli ihan toimiva ratkaisu, mutta opettajan rooli luokassa oli myös suhteellisen tärkeä, sillä tämä helpotti oppilaiden kanssa kommunikointia.

Ensimmäinen haaste tulikin vastaan jo ennen ohjauskertaa, kun piti jotenkin saada tulostettua Pikku-Enigma myös itselle. Kampus oli tällöin jo mennyt kiinni syyslukukauden osalta. No, tulostus kuitenkin onnistui, mutta etäilyn vuoksi oli myös keksittävä jotain soveltavaa haaraniittiä sijaistamaan. Päädyimme toisen ohjaajan kanssa siihen, että ratkaisuna on korvakoru. Tämä toimi korvaavana haaraniittinä yllättävän hyvin!

Työpöydän asettelu oli tärkeää suunnitella ennen ohjauksen alkamista. Kaiken piti olla kätevästi saatavilla, kun koko ajan oli tarkoitus ruudulta näyttää jotakin. Yllä olevasta kuvasta näkee, kuinka Pikku-Enigman käyttöä näytettiin. Tämä osoittautui suhteellisen hankalaksi, mutta ei mahdottomaksi. Oppilaat ottivat ideasta kopin todella nopeasti olosuhteisiin nähden, ja tehtäväkin tuli tehtyä todella reippaaseen tahtiin. Tämä oli ehdottomasti positiivinen yllätys ja antoi varmuutta sille, että etänä opetuskin voi onnistua hyvin.

Eniten aikaa opetuksen aikana kului Enigman rakennukseen. Olimme antaneet ohjeet opettajalle ennen tuntia, jotta hänelläkin on mahdollisuus auttaa oppilaita. Selostuksen jälkeen luokassa alkoikin hälinä, kun kaikki lähtivät toteuttamaan omia Pikku-Enigmojaan. Olisi ollut mahtavaa nähdä tämä myös paikan päällä. Etäopetuksesta jääkin mielestäni sellainen fiilis, ettei ole pystynyt olla niin läsnäoleva ohjauksen aikana, kuin mitä olisi halunnut olla. Etäopetuksen positiivisena puolena onkin esimerkiksi se, että matkoja ei ole. Niihin ei mene aikaa ja on siis mahdollista pitää ohjausta vaikkapa ympäri maailmaa. Mielestäni se on hienoa, ja edistää tasa-arvoa, kun kaikilla on mahdollisuus osallistua ohjaukseen.

Tunti oli kokonaisuudessaan onnistunut, vaikka aluksi hieman jännittikin, mitä etäohjaus tuo tullessaan. Diaesitys tuki opetusta hyvin ja oli tärkeää, että se oli selkeä. Yhteyden kanssa ei ollut häikkää ja ääni ei pätkinyt. Onneksi teknologia on jo niin kehittynyttä, että tallainen opetusmuoto on mahdollista toteuttaa, ja vielä onnistuneesti.