Avainsana-arkisto: hanoin torni

Hanoin torni ja tutkiva oppiminen

Teksti: Tinja Seppälä

”Hanoin tornin mysteeri väitetään pohjautuneen legendaan Hindutemppelistä, jossa palapelejä käytettiin nuorten pappien kurinalaisuuden parantamiseksi. Legendassa papeille annettiin 64 kultalevyä, jotka olivat pinottu siististi yhteen pylvääseen kolmesta. Jokainen levy lepäsi hieman suuremman levyn päällä. Pappien tavoitteena oli luoda pino uudelleen eri pylvääseen siirtämällä levyjä yksi kerrallaan toiseen pylvääseen niin, että isompaa levyä ei koskaan voitu sijoittaa pienemmän levyn päälle. Vaikka papit olivat tehokkaita ja siirsivät levyjä tahdilla yksi per sekunti, niin työn suorittamiseen olisi mennyt silti melkein 585 miljardia vuotta – yli 40 kertaa maailmankaikkeuden iän verran! Matematiikan avulla voidaan löytää tehokkain ratkaisu Hanoin tornin ratkaisemiseksi, ja tämän säännön keksi ranskalainen matemaatikko Édouard Lucas 1800-luvulla.”

HANOIN TORNIN RATKAISUEHDOTUS

Hanoin torni voidaan kuulemma ratkaista matematiikan avulla, vau! Mutta miten? Tutkitaan tätä…

Millä tahansa määrällä levyjä voidaan teoriassa (käytännössä suurilla levymäärillä ratkaisuun saattaa mennä toivottoman paljon aikaa) ratkaista Hanoin torni, mutta vähimmäismäärä levyjä Hanoin tornin palapelin ratkaisemiseksi on 2n-1, missä n on levyjen lukumäärä. Taulukko levyjen ja siirtojen lukumäärän yhteydestä löytyy alempaa.

Lähde: Summamutikka materiaalipankki
Lähde: Summamutikka materiaalipankki

Hanoin tornin yksinkertainen eli iteratiivinen ratkaisu on se, että vaihdetaan vuorotellen pienimmän ja ei-pienimmän levyn paikkaa. Toisin sanoen, kun siirretään pienintä levyä, niin siirretään se aina seuraavaan kohtaan samansuuntaisesti (oikealle, jos kappaleiden aloitusmäärä on parillinen, ja vasemmalle, jos kappaleiden aloitusmäärä on pariton.) Esimerkiksi, jos aloitat kolmella levyllä, siirrä pienin levy vastakkaiseen päähän ja jatka sitten sen jälkeen toiseen suuntaan. Muitakin ratkaisukeinoja on olemassa, mutta yksinkertaistettuna voidaan käyttää tätä algoritmia ratkaisuun. (ks. yllä olevat kuvat ratkaisun hahmottamiseksi)

Taulukko palikoiden ja siirtojen lukumäärän yhteydestä.

HANOIN TORNIN TARKASTELUEHDOTUS OPPILAIDEN KANSSA

Tutkivan oppimisen ja ilmiöpohjaisuuden lähtökohtina ovat todelliset maailmanilmiöt, joita tarkastellaan sellaisinaan aidossa kontekstissa. Tutkiva oppiminen ei ole pelkästään menetelmä, vaan ajattelutapa, jossa oppiminen tähtää ymmärtämiseen sekä ilmiöiden selittämiseen. Oppimisprosessissa lähdetään liikkeelle ongelmanratkaisun näkökulmasta eli tietoisen pohtimisen kautta. Oppilasta voidaan ohjata kohdistamaan huomiota keskeisiin käsitteisiin ja perustaviin ideoihin, mutta perusideana on, että oppiminen ja oivaltaminen lähtee oppilaasta itsestään.

Hanoin tornia voidaan lähteä tarkastelemaan niin, että joko digitaalisten työkalujen tai konkreettisen Hanoin tornia muistuttavan rakennelman avulla tarjotaan ensin oppilaille mahdollisuus tarkastella palapeliä pienissä ryhmissä omaan tahtiin. Pikkuhiljaa sääntöjä voidaan lisätä tarkastelun lisäksi ja tueksi, jonka jälkeen oppilaat voivat alkaa keksiä säännönmukaisuuksia, joilla Hanoin tornin palapeli voitaisiin kenties ratkaista. Nopeimmat voivat alkaa myös miettiä sitä, että kuinka monta siirtoa on minimimäärä tietyillä levymäärillä. Tässä käytettäisiin lähtökohtana tutkivaa oppimista, joka muun muassa kehittää oppilaiden ongelmanratkaisutaitoja ja saattaa lisätä mielenkiintoa tarkasteltavaa aihetta tai teemaa kohtaan. Kuitenkin lopuksi olisi hyvä varata aikaa perusteelliselle keskustelulle ja ratkaisuehdotuksille, sillä on tärkeää, että oppilaat oppivat asioita niin, että opiskeltu asia kytkeytyy lapsen ajatteluun ja oppimiseen, mutta samalla syrjäyttäen virheelliset käsitykset aiheesta, joita saattaa muodostua tutkivan lähestymistavan kautta. Tämän vuoksi on tärkeää tunnistaa ja ennaltaehkäistä mahdollisia virhekäsityksiä perusteellisen jälkipuinnin kautta. Kaiken kaikkiaan uskon, että tutkiva ja ilmiöpohjainen lähestymistapa on oiva keino tutkia Hanoin tornin mysteeriä oppilaiden kanssa.

Hanoin tornia voi virtuaalisesti tutkia esimerkiksi tästä linkistä.

Taitavat matematiikanosaajat vierailulla

Teksti ja kuvat: Anni Jyrinsalo

Tiistaina 22.5. Summamutikka-luokka sai vierailijoiksi taitavia matematiikanosaajia Töölön yhteiskoulusta. Osalle oppilaista matematiikan laitos oli jo entuudestaan tuttu matematiikka-kilpailuiden kautta.

Seitsemällä palikalla pulman ratkaiseminen näytti olleen helppo nakki!

Vierailu aloitettiin Pentamino-palojen pähkäilyllä, ja kaikki palat löytyivätkin salaman nopeasti. Alkulämmittelun jälkeen siirryttiin pistetyöskentelyyn haastavampien pulmien pariin. Oppilaiden suosikkipulmaksi nousi Pilvenpiirtäjät, joissa oppilaiden tuli rakentaa pilvenpiirtäjäkaupunki annettujen ohjeiden mukaisesti. Kaikki oppilaat taisivat päästä jopa haastavimpien kaupunkien rakenteluun!

Oppilaat kiperän, mutta ei mahdottoman, tehtävän parissa!

Hanoin tornit sujuivat oppilailta kuin tanssi ja tornit löysivätkin nopeasti tiensä pelilaudan toiseen päätyyn oikeassa järjestyksessä. Taisipa jotkut pohtia pulmaa jopa 10 palikan kanssa! Huikeaa! Pentaminojen loppuhaasteessa nähtiin monta hienosti viimeisteltyä ratkaisua, osa tosin kaverin paloja lainaten! Einsteinin ongelma taisi olla vierailun kiperin pulma, vaikka joillekin tehtävä oli jo entuudestaan tuttu. Lopulta kaikki kuitenkin saivat palautettua kalan oikealle omistajalleen.

Tehtävä suoritettu!

Kiitos Töölön yhteiskoulun 7. luokalle vauhdikkaasta vierailusta!

 

Tiistaiaamu täynnä pulmia

Teksti ja kuvat: Anni Jyrinsalo

Koleana maaliskuisena aamuna 20.3. Uomarinteen innokkaat 3.-luokkalaiset saapuivat Summamutikka-luokkaan. Ohjelmassa oli paljon erilaisia matikkapulmia ja lyhyen esittelyn jälkeen alettiinkin reippaasti tuumasta toimeen.

Pentamino-paloja keksittiin yksin ja yhdessä.

Ensimmäisenä tehtävänä oppilailla oli keksiä mahdollisimman monta Pentamino-palaa. Vauhtiin päästyään oppilaat saivat selvitettyä lähes kaikki mahdolliset palat. Tämän jälkeen oppilaat pääsivät täyttämään erilaisia alueita keksimillään Pentamino-paloilla. Kaikki oppilaat selvittivät tiensä haastavimpaan alueeseen, mutta vaikka yritys oli kovaa, ei viimeiseen pulmaan löydetty ratkaisua.

Päivän suosikiksi äänestettiin Platonin kappaleet ja tikuilla rakentelu.

Seuraavana vuorossa oli pistetyöskentely. Pisteinä olivat Peilipeli, Platonin kappaleet sekä Hanoin torni. Platonin kappaleissa tikuilla ja vaahtokarkeilla rakentelu taisi olla vierailun suurin hitti ja tuotoksetkin olivat melkoisia! Hanoin torni vaikutti oppilaista aluksi haastavalta, mutta vauhtiin päästyään  joku taisi raivata tiensä jopa seitsemällä tornipalikalla pelaamiseen! Peilipeli oli myös oppilaiden mieleen ja suoritettuja kortteja kertyi osalle oppilaista melkoinen kasa!

Peili-pulmat ratkesivat nopeasti.

Summamutikka-vierailun jälkeen oppilaat siirtyivät evästauolle josta he suuntasivat vielä vierailulle Linkki-luokkaan.  Kiitos vierailusta Summamutikka-luokaan ja tervetuloa uudestaan!

Luovin opiskelijat pulmien parissa

Teksti: Suvi-Maria Hautala ja Anni Jyrinsalo
Kuvat: Suvi-Maria Hautala

Torstaina 23.11. saimme Summamutikka-luokkaan vieraaksi kahdeksan ammattiopisto Luovin opiskelijaa. Vierailun aluksi tutustuttiin pentaminohin ja ensimmäinen tehtävä oli keksiä kaikki mahdolliset Pentamino-palat. Yhteistyöllä kaikki 12 palaa keksittiin melko nopeasti, ja taisi joku keksiä ne ihan yksinkin. Tämän jälkeen pentaminoilla muodostettiin torni ja kaksi eri kokoista suorakulmiota. Kaikki ehtivät myös ainakin hetken miettiä kaikkien palojen saamista yhteen isoon suorakulmioon.

Pentaminoja piirrettiin suoraan Summamutikka-luokan pöytiin.

Pentaminojen jälkeen siirryttiin työpistetyöskentelyyn. Työpisteillä tehtävinä olivat Hanoin torni, Loikkivat sammakot, Pilvenpiirtäjät ja Rosvot ja poliisit. Hanoin torni ja Loikkivat sammakot olivat samalla työpisteellä ja kummatkin osoittautuivat hyvin helpoksi. Toisena pisteenä oli Pilvenpiirtäjät, jossa erikorkuiset rakennukset tuli sijoittaa pohjalle annettujen ohjeiden mukaan. Tämä tuotti joillekin ensin hankaluuksia, mutta kaikki saivat nopeasti ideasta kiinni ja kaikki pääsivät tekemään haastaviakin pohjia. Kolmantena pisteenä oli Rosvot ja poliisit, jossa poliisipartiot tuli sijoittaa kylään niin, että jokainen kylän asunto oli turvattu. Kylällä ei kuitenkaan ollut varaa maksaa turhaan palkkaa poliiseille, joten opiskelijoiden tuli pohtia, mikä on pienin lukumäärä poliiseja, joilla kylä pärjää roistojen keskellä. Tehtävä sujui kaikilta hyvin ja kaikki ryhmät taisivat keretä ratkaisemaan jokaisen kylän.

Rosvot ja poliisit-pulmassa kylän suojaamiseen pitää käyttää mahdollisimman vähän poliiseja.

Loppupulmana opiskelijat saivat ratkaistavakseen Pimeät portaat -pulman. Pulmaa pohdittiin ankarasti ja pienellä avustuksella se saatiin ratkeamaan. Jos aikaa olisi ollut enemmän, pulma olisi varmasti ratkennut ilman apuakin.

Kiitos Luovin ryhmälle vierailusta Summamutikka-luokkaan ja oikein hyvää joulun odotusta!

Työpistetyöskentelyä Exactumissa

Teksti: Johanna Helle ja Matias Kaukolinna
Kuvat: Johanna Helle

Torstai-iltapäivänä 9.11 Summamutikka-luokkaan saatiin vieraiksi energisiä ja mukavia kolmasluokkalaisia Uomarinteen koulusta. Ohjelmassa oli seitsemän eri työpistettä/rastia : Hernekauppiaanpulma, Platonin kappaleet, Ubongo, Loikkivat sammakot, Tulitikkupulmat, Hanoin torni ja pentaminot. Aluksi oppilaat jaettiin 3-4 hengen ryhmiin. Kolme rastia oli summamutikka-luokassa ja loput neljä olivat piilotettu käytäville. Oppilailla oli 75 minuuttia aikaa löytää kaikki seitsemän rastia ja tehdä niiden tehtävät mahdollisimman hyvin. Ohjaajat auttoivat tarvittaessa rastien löytämisessä ja tekemisessä.

Kuinka nopeasti saisit viisi tornipalaa siirrettyä vasemmalta oikealle?

Platonin kappaleet -rasti osoittautui monen suosikkirastiksi. Siinä tehtävänä oli rakentaa kuutio ja tetraedri hammastikkujen ja vaahtokarkkien avulla. Hernekauppiaan pulma oli haastava, mutta pienellä avustuksella siitäkin selvittiin. Tikkutehtävä oli niin hyvässä piilossa, että sen löytämiseen piti käydä kysymässä vihjeitä. Käytävillä olevia rasteja tehdessä oppilaat näkivät myös kuinka yliopisto-opiskelijat ahersivat tehtäviensä parissa.

Platonin kappaleiden rakentaminen oli oppilaiden mielestä mukavaa.

Vaikka vierailu olikin vasta iltapäivästä ja koulupäivän päättyminen alkoi lähestyä, suurin osa jaksoi työskennellä ahkerasti loppuun saakka. Mukavaa loppuvuotta ja toivottavasti näemme teidät taas ensi vuonna!

Mäntymäen koulun vierailu Summamutikka-luokkaan

Teksti: Jenny-Maria Bergman ja Anni Jyrinsalo
Kuvat: Jenny-Maria Bergman

Mäntymäen 4.-luokka saapui vierailulle matematiikan laitokselle torstaina 2.11. Luvassa oli pistetyöskentelyä koskien geometriaa, kertolaskuja ja ongelmanratkaisua. Vierailu aloitettiin Pentamino-palojen hahmottelulla ja kaikkien mahdollisten palojen löytämisellä. Monet pöytäryhmät löysivätkin kaikki mahdolliset palat , ja vielä todella nopeasti!

Kuinka monta erilaista palaa voit muodostaa viidestä neliöstä?

Yhteisen alkupulman jälkeen siirryttiin itse pistetyöskentelyyn. Rasteina olivat Hanoin torni, Ubongo 3D, Pentamino, Rosvot ja poliisit sekä kertolasku-bingo. Pentamino-rastilla oppilaat pääsivät käyttämään vierailun alussa keksimiään Pentamino-paloja erimuotoisten alueiden täyttämiseen. Oppilaat selviytyivät tehtävistä hienosti ja suurin osa kerkesi pähkäilemään viimeistä tehtävää, eli koko alustan peittämistä paloilla.

Hanoin tornit olivat yksi haastavimmista tehtävistä, mutta siitä huolimatta kaikki oppilaat selvisivät vähintään neljän tornin pulmasta. Osa oppilaista pääsi jopa seitsemään torniin! Aivan huippu suoritus! Monet oppilaista olivat aikaisemmin pelanneet tavallista Ubongoa, mutta vierailulla he pääsivät pelaamaan kyseistä tuttua peliä 3D-muodossa. Tehtävät tuntuivat oppilaista alkuun hankalilta, mutta saatuaan yhden pulman ratkaistua, pääsivät oppilaat vauhtiin. Taisi joku jopa sanoa että ”tää on ihan helppoa!”.

Al tourist -tehtävässä piti värittää kylän talot mahdollisimman vähällä määrällä eri värejä niin, että naapuritalot eivät saaneet olla saman värisiä.

Neljäntenä rastina oli Rosvot ja poliisit, jossa oppilaat saivat näyttää ongelmaratkaisutaitojaan. Saatuaan kiinni tehtävän juonesta oppilaat sijoittivat poliisit nopeasti kyliin. Ryhmien hyvää yhteistyötä oli ilo seurata.  Kaikki ryhmät ehtivät tekemään kaikki kylät ja monet ryhmät ehtivät tekemään lisätehtävänä Al Tourist talon maalaus tehtävän. Yksi ryhmä ehti jopa tekemään kaikki kylät! Kertolaskubingossa yritettiin saada viiden luvun Bingo. Kaikki jaksoivat sinnikkäästi metsästää bingoa, vaikka bingot olivatkin tiukassa.

Viiden suora oli vaikea saada kertolaskubingossa.

Vierailu sujui oikein mukavasti ja oppilaat jaksoivat työskennellä koko vierailun ajan todella keskittyneesti. Me ohjaajat seurasimme ilolla oppilaiden innokasta työskentelyä. Pistetyöskentelyn jälkeen riitti vielä voimia yhteiseen loppupulmaan nimittäin neliöitä etsimässä tehtävään.  Monet löysivät mukavasti neliöitä ja muutama taisi löytää kaikki neliöt. Lopuksi tehtävä käytiin yhdessä läpi, jotta kaikki saivat nähdä miten monta neliötä on mahdollista löytää.

Vieraita Uomarinteen koulusta

Teksti ja kuvat: Johanna Helle ja Melike Öz

Summamutikka-luokkaan saatiin tiistaiaamuna 31.10.17 vieraaksemme mukavia ja reippaita kolmasluokkalaisia. Ohjelmassa oli kuusi eri työpistettä: Platonin kappaleet, Neliöitä etsimässä, Loikkivat sammakot, Tulitikkupulmat, Hanoin torni ja Pentaminot. Näissä oppilaat työskentelivät 3-4 hengen ryhmissä. Jokaisessa pisteessä oli aikaa puuhastella noin 10 min, minkä jälkeen ryhmät siirtyivät ohjatusti seuraavaan pisteeseen. Jokaisen pistetyöskentelyn jälkeen ohjaajat antoivat ryhmille yhden paperilapun, jossa oli kirjoitettuna lauseen osa. Lopuksi näistä paperilapuista piti muodostaa lause: Keksitkö säännön miten lukujono 0,1,1,2,3,5,8,13,21… jatkuu? Vierailun lopussa oppilaat ehtivät muodostaa lausetta, mutta tehtävän ratkaisua ei käyty läpi, sillä halusimme antaa kaikille aikaa tehtävän miettimiseen. Kolmasluokkalaiset saivat käteensä uuden pulman, jonka ratkaisua voi miettiä vielä kotimatkalla tai koulussa.

Keltaiset sammakot haluaisivat toiseen laitaan ja vihreät toiseen laitaan. Miten sammakot loikkivat lumpeenlehdillä?

Oppilaat pitivät kaikista työpisteistä. Platonin kappaleet – työpisteessä rakenneltiin vaahtokarkeista ja tikuista Platonin kappaleita. Lähtiessään oppilaat halusivat ottaa mukaan rakennelmansa. Neliöitä etsimässä – työpisteessä oppilaat piirsivät pöytiin 4×4-ruudukon, josta piti löytää kaikki neliöt. Ryhmät saivat erilaisia vastauksia, mutta lopuksi käytiin taululla yhdessä läpi, mikä oli oikea vastaus ja miten kaikki neliöt löytyivät ruudukosta. Tulitikkupulmat olivat haastavia, mutta oppilaat yrittivät sinnikkäästi ratkaista niin paljon kuin kerkesivät.

Pienimmät neliöt löytyivät nopeasti.

Kolmasluokkien lisäksi saimme vieraaksemme kiinalaisen opiskelijan, joka oli tullut tutustumaan Summamutikka-luokan toimintaan. Hauskojen pulmien parissa aika kului todella nopeasti ja jouduimme hyvästelemään vieraamme. Kiitos, kun kävitte luonamme ja tervetuloa uudestaan.

Ysiluokkalaiset tutustumassa yliopistoon

Teksti ja kuvat: Emma Karjalainen

Torstaina 18.5.2017 Summamutikassa vieraili Kruunuhaan ysiluokkalaiset. Aluksi tutustuimme Exactumin suurimpaan luentosaliin ja oppilaat saivat kuulla millaista yliopistossa opiskelu on ja miten sinne pääsee opiskelemaan. Mukana ollut opettaja oli itsekin opiskellut Kumpulassa ja kertoi myös omista kokemuksistaan.

Luokassa oppilaat pääsivät testaamaan päättelykykyjään pilvenpiirtäjien parissa. 4×4 -kokoiset ruudukot ratkesivat nopeasti ja monet ehtivät pohtimaan myös vaikeampia 5×5 -kokoisia ruudukoita. 25 talolla jopa helppo ruudukko tuntuu vaikeammalta täyttää, koska taloja on niin paljon enemmän.

Pilvenpiirtäjäruudukoiden täyttäminen kannattaa aloittaa korkeimmista taloista.

Lopuksi pohdittiin vielä Hanoin torneja. Jotkut ehtivät päättelemään siirtelykaavan, mutta siirtojen lukumäärät jäivät vielä selvittämättä. Näiltä yhdeksäsluokkalaisilta kuuden palan korkuisen tornin siirtäminen sujui nopeasti ja suurimmilta osin ilman turhia siirtoja.

Kuuden palan korkuisen tornin siirtelyä.

Matematiikkaluokka pulmia ratkomassa

Teksti ja kuvat: Emma Karjalainen

Hyisenä keskiviikkona 10.5 Summamutikkaan tuli vierailulle Töölön yhteiskoulun 7. lk matematiikkaluokkalaiset. Summamutikassa riitti juuri ja juuri kaikille tuoli, kun oppilaita oli yhteensä 32 kappaletta. Tiivis tunnelma ei menoa haitannut ja ryhmätyöskentely sujui oppilailta todella mallikkaasti.

Vaikeusaste nousi 5×5 pelilautoihin siirryttäessä.

Alkuun lämmiteltiin Portian lippaan arvoituksella, joka ratkesi kaikissa pöytäryhmissä hyvin nopeasti. Seuraavaksi päästiin pilvenpiirtäjien kimppuun, ja onneksi niistä oli olemassa vaikeammat 5×5 pelilaudat, sillä melkein kaikki pöydät ehtivät tekemään myös näitä 25 talon pulmia. 4×4 pelilaudat tuntuivat monista oppilaista liiankin helpoilta, jopa vaikeammat laudat, joissa vihjeitä oli vähemmän. 5×5 -laudoissa riitti kuitenkin haastetta ja kaikki jaksoivat ponnistella oikean ratkaisun löytämiseksi.

Valmis kaupunki.

Seuraavaksi pohdittiin portaikko-ongelmaa. Osa keksi ratkaisun samantien ja osa joutui pohdiskelemaan mahdollisia kulkuvuoroja hieman kauemmin. Ongelman selätettyään pöytäryhmät ehtivät vielä hetken aikaa siirrellä Hanoin torneja ja miettiä mahdollista algoritmia, jolla palikat siirtyy vähimmillä siirroilla.

Nelosluokkalaiset pulmien kimpussa

Teksti: Azira Abbasli ja Emma Karjalainen
Kuvat:
Emma Karjalainen

Torstaina 20.4 saimme vieraaksemme Kaisaniemen ala-asteen neljäsluokkalaisia. Vierailun ohjelmana oli erilaiset pulmarastit.

Aloitimme yhteisen ohjelman etsimällä neliöitä 4×4-ruudukosta. Oppilaat saivat ratkaista tehtävän piirtämällä pöytiin omat ruudukot. 3×3-kokoiset ruudut osoittautuivat hankalimmiksi löytää. Monet pääsivät hyvinkin lähelle oikeaa ratkaisua ja muutama ehti löytää kaikki neliöt.

Etsintä käynnissä.

Rasteina oli pilvenpiirtäjät, hanoin torni, sammakot, kertotaulubingo ja happy cubes. Happy cubes -rasti aiheutti sekä onnistumisen että turhautumisen tunteita. Muutama kuutio saatiin kuitenkin koottua. Sammakot lähtivät hyvin käyntiin ja moni ehti siirrellä jopa kymmenen ja kahdentoista sammakon joukkoja. Kertotaulubingo osoittautui loppujenlopuksi luokan suosikkipulmaksi.

Pulmien kimpussa.

Oppilaiden mielestä Summamutikka-vierailu oli ohi liian nopeasti. Toivottavasti koulussa päästään ratkomaan lisää pulmia.