Avainsana-arkisto: geometria

Pythagoraan lause ja (epä)suorat kulmat

Teksti ja kuvat: Alisa Uusi-Kilponen

Luokkataso: 7.-9.lk
Tarvittavat välineet: teippiä, mittanauha tai narua ja viivoitin, laskin, kynää ja paperia

Kuvaus: Etsitään ympäriltä löytyvistä ja itse luoduista nurkista erisuuruisia kulmia. Merkitään kulmiin kateetit teipillä. Mitataan mittanauhalla tai viivoittimella kateettien pituudet. Mitataan myös kateettien päätepisteiden väliin muodostuvan hypotenuusan pituus suoraan mittanauhalla tai vaihtoehtoisesti langalla ja viivoittimella. Todistetaan Pythagoraan lauseen avulla kulman olevan suora tai epäsuora.

Tehtävään menevä aika: noin 45 minuuttia (kun Pythagoraan lause on entuudestaan tuttu)

Johdattelu: Pythagoraan lauseen mieleen palauttaminen

Suorakulmaisen kolmion kateettien a ja b neliöiden summa on hypotenuusan c neliö: + =

Siis esimerkkikuvan kolmio on suorakulmainen, sillä
3² + 4² = 5² on sama kuin
9 + 16 = 25 eli yhtälön molemmat puolet ovat selvästi yhtä suuret.

Pythagoraan lauseellahan saimme mm.

  • todistettua sen, onko kolmio suorakulmainen (kolmio on silloin suorakulmainen, kun yhtälö pätee)
  • selvitettyä hypotenuusan pituus, kun kateettien pituudet tunnetaan
  • selvitettyä toisen kateetin pituus, kun toisen kateetin ja hypotenuusan pituudet tunnetaan

 Mutta mitä hyötyä lauseesta on todellisuudessa? Kaavan ulkoa opettelun sijaan on hyvä ymmärtää se, mitä kaikkea se mahdollistaakaan.

Pythagoraan lauseen avulla saattaa olla helpompi suunnistaa jopa monien yllättävienkin arjen ongelmatilanteidenkin läpi. Myös etenkin arkkitehtuurissa ja rakennusmailla kyseistä lausetta hyödynnetään paljon, kuten seuraava video havainnollistaa: https://www.youtube.com/watch?v=r74qFUiZ2LE

Varmistamalla rakenteiden suoruus Pythagoraan lauseen avulla, varmistetaan niiden luotettavuus. Hyppää ammattilaisten saappaisiin, ja lähde itsekin tutkimaan erilaisia kulmia ja niiden suoruutta.

Toiminta: todistetusti suora vai epäsuora kulma?

Etsi ympäriltäsi vähintään kaksi erilaista kulmaa, kuten lattian ja huonekalun väliin jäävää tai vaakatasossa joidenkin seinämien väliin muodostuvaa nurkkaa. Yritä näiden kahden valmiiksi löytämäsi kulman lisäksi luoda itse ainakin yksi suorakulmainen kolmio saatavilla olevista materiaaleistasi. Yksi mahdollinen esimerkki on muodostaa kolmio kahdesta kirjasta asettaen niiden selkämykset kateeteiksi. Käytä luovuuttasi hyödyksi!

Mieti sitten, miten tarkistaisit esimerkiksi sen, ovatko seinäsi täysin suorat, miksi tuolin jalka on lattiaan nähden hieman epäsuorassa kulmassa tai onnistuitko asettamaan omatekemäsi suorakulmaisen kolmion oikeasti 90 asteen kulmaan, vaikka silmämääräisesti se siltä näyttääkin? Mietittyäsi erilaisia keinoja, miten saisit todistettua kulmiesi suoruuden tai epäsuoruuden, aloita todistaminen.

Todistamisessa voit hyödyntää tai soveltaa videolla nähtyä tai seuraavaa esimerkkiä:

  1. Merkitsen etsimästäni kulmasta haluamani mittaiset kateetit teipillä. Mittaan mittanauhalla tai viivoittimella kateettien pituudet senttimetreissä millimetrien tarkkuudella (5,0 cm) ja kirjaan tiedot ylös paperille, kuten alla.

Mittaan kateettien päätepisteiden väliin muodostuvan hypotenuusan pituuden senttimetreissä millimetrien tarkkuudella (7,3 cm). Mittaus onnistuu taipuvalla mittanauhalla tai langalla, jonka pituuden voin mitata viivoittimella.

Teen saamistani kateettien sekä hypotenuusan pituuksista Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön, jonka avulla todistan, onko kulmani suora vai epäsuora. Kirjaan ylös johtopäätökseni.

Toistan samat vaiheet toisellekin etsimälleni tai tekemälleni kulmalle.

Kulma 1: ___________________________
Kulman 1 kateettien pituudet: _________________________
Kulman 1 hypotenuusan pituus:________________________
Muodostuva Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö ja sen ratkaisu:

 

Johtopäätökset.:_________________________


Yhteenveto:

Muista, että kaikki mittaustulokset ovat likiarvoja, joten pienen pienet erot yhtäsuuruudessa voivat olla mittaustarkkuudesta johtuvia. Silminnähden suoran näköiset kulmat eivät kuitenkaan riitä matemaattisiksi todisteiksi. Tarvitaan johdettavissa olevia Pythagoraan lauseen kaltaisia lauseita, joita hyödyntämällä voidaan todistaa väitteitä matemaattisesti todeksi. Oleellistahan rakennusmaillakin on, että seinät tai muut rakennelmat tulevat todellakin suoriksi.

Tehtävän esimerkkikuvista löytyvä tuolin jalan ja lattian väliin muodostuva kulmakin voi näyttää suoralta olematta kuitenkaan sitä. Osaatko esimerkkikuvien tietojen perusteella laskea, mikä on toisen kateetin pituus? Onko kyseinen tuolin jalan ja lattian väliin muodostuva kulma suora vai ei?

Jos geometria innostaa, voit tutustua myös toiseen yläkoulun geometrian tehtävään jossa tutkitaan ympyröitä:
https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/ympyrageometriaa/

Kaikki geometriaan liittyvät Summamutikan materiaalipankin tehtävät:
https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/?s=geometria

Pentaminoja Veromäen 3. luokan kanssa

Teksti & Kuva: Tuomas Nurmiainen ja Milja Niemi

Maanantaina 9.3 saimme vieraaksemme Veromäen 3. luokan. Heidän jo saapuessaan sai hyvin selville kuinka innoissaan oppilaat olivat. Ennakkotehtävä oli jo tehty, mutta kun sitä yhdessä muisteltiin, oli se vaikeampaa kuin luultiin. Erilaisten peilikuvien tai eri päin käännettyjen, mutta silti samojen muotojen samaksi mieltäminen oli aluksi hankalaa. Oli kuitenkin ihana huomata, miten oppilaiden hahmotuskyky kolmiulotteisesta palasta parani tehtäviä ratkaistaessa, kun kuva oli kaksiulotteinen. Loppujen lopuksi tuli kuitenkin kaikki 12 pentamino-palaa muistettua ja aloimme yhdessä hakemaan ratkaisuja erilaisiin pentamino-ongelmiin.

Lämmittelyn jälkeen, päästiin itse toimiin, ja täyttämään paperille piirrettyä tornin muotoista hahmotelmaa. Hienoa oli huomata, millaista innostusta tehtävät saivat. Tehtävä tehtiin pienissä ryhmissä ja oli hyvä, että meitä oli kaksi ohjaamassa, ja pystyimme auttaa jokaista ryhmää, kun he sitä tarvitsivat, sekä antamaan uusia tehtäviä, kun edelliset oli suoritettu. Ja näin oppilaat pääsivät etenemään omaa tahtiaan tehtävien kanssa. 

Suurta kiinnostusta herätti erilaisten suorakulmioiden täyttö paloilla. Tähän käytimme myös suurimman osan tunnista, sillä oppilaat halusivat jatkaa niiden ratkaisua pitkäänkin. Tämä herätti kiinnostusta jopa opettajissa, jotka pääsivät auttamaan ongelmien ratkaisussa.

Aika tuntui lentävän kuin siivillä ja pian olikin jo aika lopettaa. Oli ihana huomata, miten keskittyminen pysyi yllä melkein koko tunnin ja innostus jatkui vielä pois lähtiessäkin.

 

Taitavaa tekemistä taikuuden ja matikan parissa

Teksti ja Kuvat: Tiina Miettinen

Torstaina 21.11.2019 Länsimäen koulun kuutosluokkalaiset saapuivat Kumpulaan tutkimaan matematiikkaa ja taikuutta. Tuokio aloitettiin harjoittelemalla niin matemaatikoille kuin taikureillekin hyödyllistä taitoa, loogista päättelyä. Oppilaat pelasivat Pilvenpiirtäjät-peliä pienryhmissä ja kaikki pöytäryhmät saivat ratkaistua muutaman päättelytehtävän.

Alun päättelyharjoituksen jälkeen siirryttiin miettimään, onko kaikki aina sitä miltä näyttää. Jo matkalla Summamutikka-luokkaan oppilaat huomasivat, että yliopistolla on käytössä pöydät, joihin voi piirtää. Myös länsimäkiläiset pääsivät piirtämään pöytiin taikaneliöitä, joista ryhdyttiin laskemaan kuvassa näkyvien neliöiden määrää. Alkuun neliöitä näytti olevan alle 20, mutta kun kuvan tutkimiseen annettiin enemmän aikaa, löytyi neliöitä rutkasti lisää.

Pöytään piirretyistä taikaneliöistä löytyi yllättävän monta neliötä.

Seuraavaksi selvitettiin, miten näkymättömästä saadaan näkyvää. Varjokuvat hahmottuivat oppilaiden päässä melko nopeasti, ja hammastikuista ja vaahtokarkeista muodostui juuri oikeanlaisia kuvioita. Lopuksi päästiin vielä kokeilemaan matemaatikon taikatemppua. Tempun loitsu vaati keskittymistä, mutta tarkkaan toteutettuna oppilaiden alussa valitsemat luvut muuttuivat kaikki samaksi luvuksi.

Tämän päivän vieraat osoittivat selviävänsä paremmin kuin hyvin matematiikan taikamaailmassa. Tehtäviin lähdettiin innolla mukaan ja ratkaisut löytyivät viimeistään kaverin kanssa yhdessä pohtimalla. Kiitos Länsimäen koulun kuutosluokkalaiset, kun kävitte vierailulla.

Liikettä ja rakentelua

Teksti & Kuvat: Juha Määttänen

Torstain 24.10.2019 vierailu Summamutikka-luokassa alkoi jännittävissä merkeissä, kun Pukinmäen peruskoulun 2.-luokkalaiset pääsivät jututtamaan ihka oikeaa professoria. Päivän vierailun teemana oli erilaiset kuviot ja muodot, joita oppilaat olivatkin havainneet runsaasti muun muassa liikennemerkkien maailmassa. Tunnin edetessä päästiin kokeilemaan kuvioiden kehollista muodostamista pienissä ryhmissä ja oppilaiden upea kuvioita esittelevä tanssiesitys keräsikin hetkessä suosiota luokan omalla some-kanavalla. Tunnin lopuksi istahdettiin rakentelemaan tikuista ja vaahtokarkeista monen näköisiä kappaleita, kuten taloja, puita, pyramideja ja Eiffel-tornikin saatiin jo hyvälle alulle.

Kiitos vielä Pukinmäen peruskoululaisille ja opettajalle vierailustanne sekä huikeasta loppulaulusta!

Tanssia ja naurua luokan täydeltä

Teksti ja kuvat Iikka Talvala

Tiistaina 2.4.2019 Kumpulaan saapui joukko reippaita ja iloisia esikoululaisia. Ennen yliopistolle saapumista esikoululaisilla oli ollut ennakkotehtävänä etsiä muotoja päiväkodin lähiympäristöstä. Esikoululaiset olivat löytäneet esimerkiksi liikennemerkkejä ja kaivonkansia, sekä tunnistaneet muotoja, kuten ympyrän, neliön, kolmion ja suorakaiteen. Heillä oli löydöksistään monta kuvaa mukana, joita saimme yhdessä ihastella.

Päivän teemaksi oli valikoitunut ”Tanssii muotojen kanssa”. Teeman ja ennakkotehtävän mukaisesti jatkettiin myös summamutikassa muotojen tutkimista. Aluksi esikoululaiset etsivät muotoja luokasta. Tuulettimet, tietokoneet, dokumenttikamerat ja rakennuspalikat sisälsivät kaikki jo ennestään tuttuja muotoja. Koristeviireistä löytyi tuttujen muotojen lisäksi viisikulmio, sekä ”sisäänpäin” kääntynyt kulma, joita ihmeteltiin yhdessä ohjaajan kanssa. Lapset piirsivät myös lempi muotoja liitutaululle, jolloin syntyi koko seinän mittainen taideteos täynnä tähtiä, sydämiä, neliöitä ja monikulmioita.

Kappaleiden ja muotojen rakentelua

Seuraavaksi lämmiteltiin kehot vetreiksi muotojumpan avulla ja päivän hienoimmat ohjelmanumerot nähtiin, kun eskarilaiset saivat suunnitella pienissä ryhmissä tanssiesitykset. Musiikin tahtiin tanssittaessa ympyrät syntyivät käsistä kiinni pitämällä, suorakulmiot koko kehoa käyttäen ja tähtien sakarat jalkojen avulla. Oli mahtavaa, miten lyhyessä ajassa eskarilaiset toteuttivat usean minuutin mittaiset esitykset.

Lopuksi askarreltiin hammastikuista ja vaahtokarkeista Platonin kappaleita eli kuutioita, pyramideja ja tetraedrejä. Kolmiulotteisten kappaleiden rakentaminen oli haastavaa, mutta porukalla saatiin aikaan isot kasat kaikkia kappaleita. Ikävältä tuntui purkaa hienot rakennelmat, mutta onneksi saatiin paljon kuvia muistoksi. Kuulin, että päiväkodissa jatketaan vielä samalla teemalla, joten varmasti uusia rakennelmiakin on vielä luvassa.

Kiitos ihanasta aamupäivästä koko päiväkoti Nurmikon väelle ja tervetuloa uudestaa.

Vaahtokarkki linnake

Teksti: Tanja Kaappola Kuvat: Tanja Kaappola ja Iikka Talvala

Tiistaina 19.3 Hietakummun ala-asteen 1. luokka tuli vierailulle Summamutikkaan. Vierailun teemana oli Tanssii muotojen kanssa.

Aluksi etsimme luokasta erilaisia muotoja. Oppilaat olivat opetelleet koulussa erilaisia muotoja ja niitä löytyikin luokasta todella paljon. Tämän jälkeen erilaisia muotoja sai piirtää liitutaululle. Piirtämisen jälkeen taulu oli täynnä mitä erilaisempia muotoja.

Kun muodot oli kerrattu, niin aloitimme muotojen tekemisen ensin sormien avulla. Tämän jälkeen käsivarsien ja lopuksi koko kehon avulla. Näin syntyi perinteisten muotojen ohella myös esimerkiksi sydämiä ja muita notkeutta vaativia muotoja. Kun muotoja osattiin tehdä yksin, niin haastetta lisättiin ja tehtävänä oli muodostaa ryhmässä muotoja sisältävä tanssi. Lopuksi halukkaat pääsivät esittämään tanssinsa.

Kun kaikki halukkaat olivat päässeet esittämään tanssinsa, niin siirryttiin rakentamaan muotoja vaahtokarkeista ja tikuista. Rakentelussa pääsi käyttämään luovuutta vapaasti. Rakentelussa syntyi paljon erilaisia taloja sekä linnake. Myös muita upeita muotoja ja taideteoksia rakennettiin.

Linnake, sekä muita muotoja

Muotojen metsästystä

Kuva ja Teksti: Matias Malmi

Summamutikka-luokassa kävi vierailemassa keskiviikkona 13.3.2019 Käpylinnan esikoululaisia. Vierailun tavoitteena oli tehdä kaikkea kivaa erilaisten muotojen kanssa.

Ennakkotehtävänä esikoululaiset olivat etsineet matkalla luokkaan erilaisia muotoja ympäristöstä. Muotoja etsittiin myös luokasta ja niitä sai käydä piirtämässä liitutaululle. Tämän jälkeen kokeiltiin muodostaa sormilla, käsillä ja koko vartalolla muotoja kuten kolmio, neliö ja ympyrä. Näistä tehtiin myös ryhmissä pienet tanssiesitykset, joissa yhdessä muiden ryhmäläisten kanssa muodostettiin muotoja ja siirryttiin muodosta toiseen musiikin soidessa taustalla.

Lopuksi rakenneltiin vaahtokarkkien paloista ja hammastikuista erilaisia kaksi- ja kolmiulotteisia muotoja, joista tuli todella hienoja.

Elävät muodot

Meduusat Summiksessa

Kuvat & Teksti: Tanja Kaappola

Keskiviikkona 6.3.2019 Summamutikkaan tuli vierailulle joukko esikoululaisia Meduusat ryhmästä. Päivän aiheeksi oli valittu Tanssii muotojen kanssa.

Aluksi kerrattiin, millaisia muotoja on olemassa ja etsittiin niitä Summamutikka luokasta. Muotoja löytyi todella hyvin. Tämän jälkeen muotoja tehtiin sormien avulla. Näin syntyi hienoja ja erilaisia kolmioita, suorakulmioita ja ympyröitä. Kun muotojen tekeminen hallittiin sormien avulla, niin siirryttiin tekemään muotoja käyttäen apuna koko käsivarsia. Sitten lisättiin haastetta ja tehtiin erilaisia muotoja koko kehon avulla. Esikoululaiset pääsivät käyttämään luovuutta ja lopputuloksena syntyi paljon erilaisia ja upeita muotoja.

Tämän jälkeen päästiin suunnittelemaan tansseja pienissä ryhmissä. Tansseissa oli tarkoitus muodostaa ryhmässä erilaisia muotoja. Oman ryhmän tanssin pääsi myös esittämään muille. Tansseissa näkyi muun muassa eri kirjaimia, tähtiä sekä perinteisempiä muotoja. Esikoululaiset pääsivät piirtämään muotoja myös liitutaululle. Piirtelyn tuloksena liitutaulu oli täynnä hienoja kolmioita, ympyröitä, sydämiä sekä taloja.

Lopuksi esikoululaiset rakensivat muotoja ja muita taideteoksia vaahtokarkeista ja tikuista. Rakentelussa syntyi mahtavia tasokuvioita sekä kolmiulotteisia rakennelmia.

Taideteoksia vaahtokarkeista

Erilaisia muotoja ja tanssiesityksiä

Teksti: Mari Korpi
Kuva: Azira Abbasli

Neilikan päiväkodin eskarilaiset kävivät Tanssii muotojen kanssa – teematunnilla Summamutikka-luokassa keskiviikkona                      5.12. 2018. Eskarilaisia oli 14 lapsen ryhmä. Ennakkotehtävänä eskarilaisilla oli ollut miettiä, mitä muotoja on, ja mistä niitä voi löytyä arkiympäristöstä. Aiempiin ryhmiin verrattuna uutena mainittiin kaari omana muotonaan.

Ennakkotehtävän kertaamisen jälkeen muotoja lähdettiin kokeilemaan ensin sormilla, käsivarsilla ja sitten koko keholla. Sen jälkeen muotoja muodostettiin yhdessä 3-4 lapsen pienryhmissä musiikin soidessa. Tavoitteena oli vaihtaa muotoja yhdessä ilman puhetta. Lopuksi yhdessä harjoitellut muodot esitettiin muille. Eskarilaiset jaksoivat keskittyä muiden esityksiin, ja olivat innokkaita esittämään tuotoksensa. Kaikki saivat toteutettua esitykset ilman aikuisen ohjausta.

Esitysten jälkeen eskarilaiset pääsivät rakentamaan vaahtokarkeista ja hammastikuista muotoja oman kiinnostuksen mukaan. Tarjolla oli tasokuvioiden lisäksi myös kolmiulotteisia muotoja kuten kuutio. Lopuksi lapset saivat ottaa yhden rakentamansa muodon mukaan eskariin.

Muotojen rakentelu käynnissä

Erilaisia muotoja ja esityksiä

Teksti ja kuva: Azira Abbasli

Maanantaina 3.12.2018 Summamutikassa vierailivat Latokartanon peruskoulun tokaluokkalaiset. Vierailun teemana oli tanssii muotojen kanssa.

Aluksi kävimme oppilaiden kanssa erilaisia muotoja läpi ja etsimme niitä luokkahuoneesta. Valitsimme neljä muotoa, joita olivat suorakulmio, neliö, kolmio ja ympyrä.  Seuraavaksi nämä  muodot tuli esittää  sormilla, käsivarsilla ja koko kehoa apuna käyttäen.  Tämän jälkeen oppilaat jaettiin ryhmiin, missä piti tehdä näitä samoja muotoja. Harjoittelun jälkeen oman ryhmän tuotos esitettiin muille. Kaikkien esitykset  onnistuivat hienosti.

Loppuajan rakensimme  tikuista ja vaahtokarkeista erilaisia tasokuvioita ja kappaleita. Oppilaat pääsivät rakentamaan kuution, tetraedrin ja pyramidin.

Erilaisia muotoja ja kappaleita