Pythagoraan lause ja (epä)suorat kulmat

Teksti ja kuvat: Alisa Uusi-Kilponen

Luokkataso: 7.-9.lk
Tarvittavat välineet: teippiä, mittanauha tai narua ja viivoitin, laskin, kynää ja paperia

Kuvaus: Etsitään ympäriltä löytyvistä ja itse luoduista nurkista erisuuruisia kulmia. Merkitään kulmiin kateetit teipillä. Mitataan mittanauhalla tai viivoittimella kateettien pituudet. Mitataan myös kateettien päätepisteiden väliin muodostuvan hypotenuusan pituus suoraan mittanauhalla tai vaihtoehtoisesti langalla ja viivoittimella. Todistetaan Pythagoraan lauseen avulla kulman olevan suora tai epäsuora.

Tehtävään menevä aika: noin 45 minuuttia (kun Pythagoraan lause on entuudestaan tuttu)

Johdattelu: Pythagoraan lauseen mieleen palauttaminen

Suorakulmaisen kolmion kateettien a ja b neliöiden summa on hypotenuusan c neliö: + =

Siis esimerkkikuvan kolmio on suorakulmainen, sillä
3² + 4² = 5² on sama kuin
9 + 16 = 25 eli yhtälön molemmat puolet ovat selvästi yhtä suuret.

Pythagoraan lauseellahan saimme mm.

  • todistettua sen, onko kolmio suorakulmainen (kolmio on silloin suorakulmainen, kun yhtälö pätee)
  • selvitettyä hypotenuusan pituus, kun kateettien pituudet tunnetaan
  • selvitettyä toisen kateetin pituus, kun toisen kateetin ja hypotenuusan pituudet tunnetaan

 Mutta mitä hyötyä lauseesta on todellisuudessa? Kaavan ulkoa opettelun sijaan on hyvä ymmärtää se, mitä kaikkea se mahdollistaakaan.

Pythagoraan lauseen avulla saattaa olla helpompi suunnistaa jopa monien yllättävienkin arjen ongelmatilanteidenkin läpi. Myös etenkin arkkitehtuurissa ja rakennusmailla kyseistä lausetta hyödynnetään paljon, kuten seuraava video havainnollistaa: https://www.youtube.com/watch?v=r74qFUiZ2LE

Varmistamalla rakenteiden suoruus Pythagoraan lauseen avulla, varmistetaan niiden luotettavuus. Hyppää ammattilaisten saappaisiin, ja lähde itsekin tutkimaan erilaisia kulmia ja niiden suoruutta.

Toiminta: todistetusti suora vai epäsuora kulma?

Etsi ympäriltäsi vähintään kaksi erilaista kulmaa, kuten lattian ja huonekalun väliin jäävää tai vaakatasossa joidenkin seinämien väliin muodostuvaa nurkkaa. Yritä näiden kahden valmiiksi löytämäsi kulman lisäksi luoda itse ainakin yksi suorakulmainen kolmio saatavilla olevista materiaaleistasi. Yksi mahdollinen esimerkki on muodostaa kolmio kahdesta kirjasta asettaen niiden selkämykset kateeteiksi. Käytä luovuuttasi hyödyksi!

Mieti sitten, miten tarkistaisit esimerkiksi sen, ovatko seinäsi täysin suorat, miksi tuolin jalka on lattiaan nähden hieman epäsuorassa kulmassa tai onnistuitko asettamaan omatekemäsi suorakulmaisen kolmion oikeasti 90 asteen kulmaan, vaikka silmämääräisesti se siltä näyttääkin? Mietittyäsi erilaisia keinoja, miten saisit todistettua kulmiesi suoruuden tai epäsuoruuden, aloita todistaminen.

Todistamisessa voit hyödyntää tai soveltaa videolla nähtyä tai seuraavaa esimerkkiä:

  1. Merkitsen etsimästäni kulmasta haluamani mittaiset kateetit teipillä. Mittaan mittanauhalla tai viivoittimella kateettien pituudet senttimetreissä millimetrien tarkkuudella (5,0 cm) ja kirjaan tiedot ylös paperille, kuten alla.

Mittaan kateettien päätepisteiden väliin muodostuvan hypotenuusan pituuden senttimetreissä millimetrien tarkkuudella (7,3 cm). Mittaus onnistuu taipuvalla mittanauhalla tai langalla, jonka pituuden voin mitata viivoittimella.

Teen saamistani kateettien sekä hypotenuusan pituuksista Pythagoraan lauseen mukaisen yhtälön, jonka avulla todistan, onko kulmani suora vai epäsuora. Kirjaan ylös johtopäätökseni.

Toistan samat vaiheet toisellekin etsimälleni tai tekemälleni kulmalle.

Kulma 1: ___________________________
Kulman 1 kateettien pituudet: _________________________
Kulman 1 hypotenuusan pituus:________________________
Muodostuva Pythagoraan lauseen mukainen yhtälö ja sen ratkaisu:

 

Johtopäätökset.:_________________________


Yhteenveto:

Muista, että kaikki mittaustulokset ovat likiarvoja, joten pienen pienet erot yhtäsuuruudessa voivat olla mittaustarkkuudesta johtuvia. Silminnähden suoran näköiset kulmat eivät kuitenkaan riitä matemaattisiksi todisteiksi. Tarvitaan johdettavissa olevia Pythagoraan lauseen kaltaisia lauseita, joita hyödyntämällä voidaan todistaa väitteitä matemaattisesti todeksi. Oleellistahan rakennusmaillakin on, että seinät tai muut rakennelmat tulevat todellakin suoriksi.

Tehtävän esimerkkikuvista löytyvä tuolin jalan ja lattian väliin muodostuva kulmakin voi näyttää suoralta olematta kuitenkaan sitä. Osaatko esimerkkikuvien tietojen perusteella laskea, mikä on toisen kateetin pituus? Onko kyseinen tuolin jalan ja lattian väliin muodostuva kulma suora vai ei?

Jos geometria innostaa, voit tutustua myös toiseen yläkoulun geometrian tehtävään jossa tutkitaan ympyröitä:
https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/ympyrageometriaa/

Kaikki geometriaan liittyvät Summamutikan materiaalipankin tehtävät:
https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/?s=geometria

Königsbergin siltaongelma

Teksti: Milja Niemi, Venla Väli-Torola & Miia Liimatainen Kuvat: Saara Lehto

Königsbergin siltaongelma

Königsbergin eli nykyisen Kaliningradin läpi virtaa Pregolja-joki, jonka keskellä on kaksi saarta. Saaria yhdisti 1700-luvulla 7 siltaa. Sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler keksi noihin aikoihin Königsbergin siltaongelman.

Kartta1: Könisbergin siltaongelma

Ongelmana on keksiä sellainen reitti, jota kulkemalla voitaisiin ylittää jokainen silta täsmälleen yhden kerran. Reitin voi aloittaa mistä kohtaa vain maalta ja lopettaa myös mihin kohtaan vain. Ei tarvitse siis päätyä aloituspisteeseen. Löytyykö tällaista reittiä?

Alla on esitetty Königsbergin lisäksi kolme muutakin karttaa. Millä kartoilla reittiongelmaan löytyy ratkaisu? Millä kartoilla reittiä ei tunnu löytyvän?

Kartta2
Kartta3
Kartta4

Löydätkö yhtäläisyyksiä niiden karttojen välillä joilta reitti löytyy tai niiden karttojen välillä joilta reittiä ei löydy?

Tarkastele karttoja joissa reittiä ei löydy. Auttaisiko jos joen yli rakennettaisiin johonkin kohtaan uusi silta?

Verkkoja, solmuja ja polkuja

Kun olet etsinyt reittejä eri kartoilta riittämiin, katsotaan, miten saadaan selville mitkä kartoista ovat ratkaistavissa. Tehdään kartoista uudet piirrokset, joissa maaosuudet on merkitty solmuilla (eli piirroksissa ympyröinä) ja niitä yhdistävät sillat on merkitty poluilla (eli piirroksessa ympyröiden välisinä viivoina). Tällaista karttaa kutsutaan verkoksi. Alla on esimerkki kartasta 1 laaditusta verkosta.

Verkko1

Ota verkosta 1 mallia ja piirrä vastaavat verkot muistakin kartoista.

Laske seuraavaksi, kuinka monta polkua (eli piirroksen viivaa) menee yhteen solmuun (eli ympyrään) ja kirjoita vastaus kunkin ympyrän sisälle. Verkossa 1 luvut näyttävät siis tältä:

 

Laske polkujen määriä kuvaavat numerot myös muihin piirtämiisi verkkoihin.

Mitkä verkoista olivat mielestäsi ratkaistavissa? Löydätkö jotain erityistä solmujen numeroista niissä verkoissa, joista ratkaisu löytyi? Onko väliä mistä solmusta aloitat ja mihin lopetat? Mitä yhteistä on verkoilla, joita et saanut ratkaistua? Millaisen säännön voisimme keksiä sille, milloin verkko voidaan ratkaista? Jos reittiä ei löydy, millaisia solmuja on paljon?

Vinkki: Voit googlata apua hakusanoilla ”Eulerin polku”.

Ratkaisut voit tarkistaa täältä!

Tällaista matematiikkaa kutsutaan verkkoteoriaksi. Jos kiinostuit, voit käydä tutkimassa lisää ongelmia Mathigonin sivuilla (englanniksi): https://mathigon.org/course/graph-theory/bridges

Voit myös katsoa suomenkielisiä verkkotehtäviä Summamutikan materiaalipankista:

https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/tag/verkot/

Hiirten kertolaskuhaaste

Teksti, kuvat ja ääni: Amanda Olander, Tea Romanovski ja Saara Lehto

Askarrellaan herneenpalkoja

Tarvikkeet:

  • paperia
  • sakset
  • lautanen
  • juomalasi
  • kahvikuppi
  • kuivia herneitä, makaroneja tai pieniä kiviä (puolikas kahvikupillinen riittää)

Leikkaa paperista 6 lappua. Sopivan kokoinen lappu on litistetyn WC-paperirullan kokoinen, voit käyttää sellaista mallina. Voit halutessasi käyttää vihreää paperia, tai värittää tai maalata paperin vihreäksi!

Taita lapun pitkät reunat kertaalleen kuten kuvassa.

Taita pitkät reunat vielä toistamiseen.

Rutista ja käännä lopuksi paperin molemmat päät. Palko on valmis! Valmista samalla tavalla yhteensä kuusi palkoa.

Hiirten talvivarastot

Ota sitten kahvikuppiin herneitä tai makaroneja (jos sinulla ei ole kumpaakaan, voit kerätä ulkoa pikkuisia kiviä leikkiherneiksi). Puoli kahvikupillista herneitä riittää! Ota pöydälle myös lautanen ja juomalasi sekä valmistamasi palot.

Kuuntele tai lue hiirten tarina:

Tarina:

Leikitään että olet pikkuinen hiiri. Talvi on tulossa, ulkona tuulee ja ensimmäiset lumihiutaleet laskeutuvat maahan. Kaikki metsäneläimet kiiruhtavat keräämään ruokaa talvivarastoon. Hyväksi onnekseen hiiriperhe löytää hernepellon, johon ihmiset ovat tiputelleet herneitä ja tyhjiä palkoja sinne tänne. Nopeasti hiiret alkavat kerätä herneitä talvivarastoon. Kekseliäät viiksiveikot lastaavat herneitä tyhjiin palkoihin, joilla ne saa helposti kuljetettua. Sinun tehtäväsi on osallistua herneiden keruuseen ja laskea keräämäsi saalis. Hauskaa työntekoa, ole ahkera!

Lasketaan sitten, kuinka paljon herneitä saadaan kullakin keruureissulla kerättyä! Otetaan ensin esimerkki.

Esimerkki

Ensimmäisellä herneenkeruureissulla olet saanut kerättyä neljä palkoa, joissa jokaisessa on kaksi hernettä.

Ota siis lautaselle neljä palkoa ja täytä jokaiseen niihin kaksi hernettä (tai makaroonia tai kiveä), kuten alla olevassa kuvassa.

Lautasellesi muodostui kertolasku. Kirjoita lasku paperille. Laske montako hernettä olet tällä kertaa löytänyt. Kirjoita yhteismäärä kertolaskun tulokseksi.

Kun lasku on valmis, ota valokuva lautasesta ja paperista. Kaada sitten herneet tyhjään juomalasiin. Ne ovat nyt hiirten talvivarastossa!

Kerätään lisää herneitä talvivarastoon!

Talvivarasto ei vielä ole riittävä. Tee sama laskuoperaatio seuraavien keräyskertojen herneillä. Muista kirjoittaa ylös myös lasku, ei pelkkää vastausta!

A: Kolme palkoa, joissa jokaisessa on kolme hernettä.

B: Viisi palkoa, joissa jokaisessa on neljä hernettä.

C: Kaksi palkoa, joissa jokaisessa on neljä hernettä.

D: Kuusi palkoa, joissa jokaisessa on viisi hernettä.

E: Keksi itse jokin määrä palkoja ja herneitä, joka ei ole sama kuin mikään jo laskemistasi. Kirjoita myös siitä syntynyt lasku ja sille vastaus.

Kun olet laskenut kaikkien viiden keräyskerran herneet ja ottanut kuvat, ota kuva vielä juomalasiin kertyneestä talvivarastosta.

Säästä palot ja herneet odottamaan seuraavaa kertolaskutuokiota!

Pascalin kolmio

Tekijät: Miia Liimatainen, Milja Niemi, Saara Lehto & Venla Väli-Torola

Tehtävänä on täydentää alla oleva pyramidi täyttämällä kaikki harmaat solut. Pyramidi lasketaan summaamalla jokaisen solun yläpuolella olevat kaksi solua. Halutessasi voit jatkaa pyramidia myös mallista alaspäin. Tätä pyramidia kutsutaan Pascalin kolmioksi.

Jos pyramidin tulostaminen ei onnistu, piirrä kolmio ruutupaperille kuten kuvassa. Täydennä tämän kuvan tummennettuihin soluihin oikeat summat. Jos haluat varmistua, että koko kuvio mahtuu paperille, aseta paperi vaakasuuntaan ja aloita aivan paperin ylälaidasta ihan keskeltä.

Kun olet valmis, väritä täydennetystä pyramidista kaikki viidellä jaolliset solut. Mitä huomaat?

Värien yhteenlasku

Väritä seuraavaksi samankaltainen kolmio värien yhteenlaskun avulla, seuraavien ohjeiden mukaan:

  • Kolmion kärki ja sivut on väritetty punaisiksi
  • Kahden punaisen solun tulos on sininen
  • Kahden sinisen solun tulos on sininen
  • Sinisen ja punaisen tai punaisen ja sinisen solun tulos on punainen

Aloita siis tähän tyyliin ja jatka alaspäin:

Voit myös vaihtaa värejä, mutta pidä huolta, että säilytät laskusäännöt. Korvaa siis säännöissä kaikki punaiset esimerkiksi keltaisella ja kaikki siniset esimerkiksi vihreällä.

Täydennä nämä väritykset numeroituun Pascalin kolmioon tai vertaa saatua kolmiota Pascalin kolmioon. Mitä huomaat? Osaatko selittää mitä värien laskusäännöt kuvaavat? Millaisia lukuja punainen väri vastaa? Millaisia sininen?

Miten kuvio jatkuisi alaspäin siitä mihin jäit? Voisiko väritystyötä helpottaa käyttämällä hyväksi kuvion toistuvuutta tai symmetrisyyttä?


Lopuksi

Googlaa Sierpinskin kolmio (Sierpinski triangle). Mitä yhtäläisyyksiä huomaat meidän pyramidiemme kanssa? Tee Googlen kuvahaku Sierpinskin kolmiosta. Mikä kuvista on oma suosikkisi?

Lisätehtävä: Millaisia kuvioita pyramidiin muodostuu, jos väritätkin kaikki kolmella tai neljällä jaolliset solut?

Täältä löydät tehtävien vastaukset!

Lisää Pascalin kolmion ihmeitä voit tutkia Mathigonin sivuilla: https://mathigon.org/course/sequences/pascals-triangle

Sierpinskin kolmio on fraktaalikuvio. Toisenlaiseen fraktaaliin voit tutustua Summamutikan materiaalipankin tehtävässä ”Kochin lumihiutale”: https://blogs.helsinki.fi/summamutikka/kochin-lumihiutale/